Darstellungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo:),
ich habe die folgende Aufgabe zu lösen:
Seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume, n=dim(V), m=dim(W) und f: [mm] V\to [/mm] W ein Homomorphismus. Zeigen Sie, dass es eine Zahl r [mm] \in \IN [/mm] und Basen [mm] (v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n}) [/mm] von V und [mm] (w_{1}, [/mm] ..., [mm] w_{m}) [/mm] von W gibt, so dass für die Darstellungsmatrix
[mm] (v_{1}, [/mm] ... [mm] v_{n})
[/mm]
[mm] (a_{ij}):= [/mm] M (f) [mm] \in [/mm] M (m x n, K) gilt:
[mm] (w_{1}, [/mm] ..., [mm] w_{m})
[/mm]
[mm] a_{ij}= [/mm] 1 falls i=j, [mm] 1\le [/mm] i, [mm] j\le [/mm] r
0 sonst
Ich Verstehe leider GAR nichts;(;( - kann darum auch keinen konkreten Lösungsvorschlag machen.
Ich weiß nur:
f ist ein Homomorphismus, d.h. eine lineare Abbildung, so gilt:
f(0)=0
f( [mm] \lambda_{1}v_{1}+...+ \lambda_{n}v_{n})= \lambda_{1}f(v_{1})+...+
[/mm]
[mm] \lambda_{n}f(v_{n}). [/mm] Wie funktioniert das jetzt mit der Darstellungsmatrix? Ich habe keinen Schimmer, was mir die Informationen zu der Matrix in der Aufgabestellung bringen oder was sie bedeuten,
Lieben Dank für eure Hilfe im Voraus! Bin wirklich am Verzweifeln;(
Liebe Grüße
|
|
| |
|
> Hallo:),
>
> ich habe die folgende Aufgabe zu lösen:
> Seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume, n=dim(V),
> m=dim(W) und f: [mm]V\to[/mm] W ein Homomorphismus. Zeigen Sie, dass
> es eine Zahl r [mm]\in \IN[/mm] und Basen [mm](v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{n})[/mm] von V
> und [mm](w_{1},[/mm] ..., [mm]w_{m})[/mm] von W gibt, so dass für die
> Darstellungsmatrix
> [mm](v_{1},[/mm] ... [mm]v_{n})[/mm]
> [mm](a_{ij}):=[/mm] M (f) [mm]\in[/mm] M (m
> x n, K) gilt:
> [mm](w_{1},[/mm] ..., [mm]w_{m})[/mm]
>
>
> [mm]a_{ij}=[/mm] 1 falls i=j, [mm]1\le[/mm] i, [mm]j\le[/mm] r
> 0 sonst
>
> Ich Verstehe leider GAR nichts;(;( - kann darum auch keinen
> konkreten Lösungsvorschlag machen.
> Ich weiß nur:
> f ist ein Homomorphismus, d.h. eine lineare Abbildung, so
> gilt:
> f(0)=0
> f( [mm]\lambda_{1}v_{1}+...+ \lambda_{n}v_{n})= \lambda_{1}f(v_{1})+...+[/mm]
>
Hallo,
> [mm]\lambda_{n}f(v_{n}).[/mm] Wie funktioniert das jetzt mit der
> Darstellungsmatrix? Ich habe keinen Schimmer, was mir die
> Informationen zu der Matrix in der Aufgabestellung bringen
> oder was sie bedeuten,
Du hast eine lineare Abb. f:V [mm] \to [/mm] W,
und ich meine mich zu erinnern, daß wir kürzlich schon "besprochen" hatten, daß in der darstellenden Matrix in den Spalten jeweils die Bilder der Basisvektoren stehen.
In der Aufgabe wird nun behauptet, daß es zu einer vorgegebenen Abbildung f Basen von V und W gibt, so daß die darstellende Matrix [mm] A:=(a_{ik}) [/mm] so aussieht:
> [mm]a_{ij}=[/mm] 1 falls i=j, [mm]1\le[/mm] i, [mm]j\le[/mm] r
> 0 sonst
>
Wie soll A also aussehen? Bis zur r-ten Spalte hat A nur Nullen bis auf das Diagonalelement [mm] a_{ii}, [/mm] in den überigen Spalten gibt's nur noch Nullen.
Das heißt: Man braucht eine Basis von V so, daß die ersten r Basisvektoren von V auf die ersten r Basisvektoren von W abgebildet werden, und die restlichen n-r Basisvektoren von V jeweils auf die Null in W.
Da Du f gegeben hast, kannst Du davon ausgehen, daß Du bild(f) kennst. bild(f ) ist ein Vektorraum, hat also eine Basis. Und eine Dimension. Da Du es mit einer linearen Abb. zu tun hast, ist das Urbild linear unabhängiger Vektoren linear unabhängig. Schau Dir nun das Urbid der Basis des Bildes an. Ergänze sie zu einer Basis des Vektorraumes V.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 06.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort. Leider komme ich aber nicht vorwärts :-( ich verstehe einfach nicht, was ich machen soll, wie ich vorgehen kann. Was ist in der Aufgabestellung mit der "Zahl r" gemeint? Muss ich die mit der Matrix multiplizieren, so dass ich die gewünschte Matrix herausbekomme? Und was sind die r- Spalten, von denen du sprichst?
Ich verstehe auch die Notation mit a-_{ij} nicht so richtig. Ich werde aus dem, was ich verstanden habe auf alle Fälle eine Matrix mit 0 und einsen suchen müssen. An der Stelle, in der i=j ist steht eine eins und sonst 0. Ist mit i=j gemeint, dass die Spaltenzahl (z.B. dritte Spalte) und Elemtposition(z.B. das dritte Element) identisch sind?
Vielen Dank für deine Antwort im Voraus!!!!
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Leider komme ich aber nicht
> vorwärts :-( ich verstehe einfach nicht, was ich machen
> soll, wie ich vorgehen kann. Was ist in der Aufgabestellung
> mit der "Zahl r" gemeint?
Hallo,
zunächst einmal ist damit nix "gemeint". Man soll ja erst zeigen, daß es so eine Zahl gibt, man muß diesem "r" also selbst Sinn einhauchen... (Du wirst später sehen, daß die Bezeichnung "r" schon Programm ist, bzw. ein Wink mit dem Zaunpfahl.)
> Ich verstehe auch die Notation mit [mm] a_{ij} [/mm] nicht so
> richtig.
Das müssen wir klären. Da stand in der Aufgabe
[mm] "a_{ij}= [/mm] 1 falls i=j, [mm] 1\le [/mm] i, [mm] j\le [/mm] r
0 sonst ".
i,j bewegen sich also beide zwischen 0 und dem noch zu bestimmenden r.
Wenn i=j ist, soll [mm] a_{ij}=1 [/mm] sein. Also ist [mm] 1=a_{11}=a_{22}=...=a_{rr}
[/mm]
Alle anderen Kombinationen sind =0, etwa [mm] a_{1,2}, a_{1,r}, a_{r+1,r+1}, a_{3, 1}
[/mm]
Die a_ij bezeichne die Positionen in der Matrix. aij ist das Element, welches in der i-ten Zeile in der J-ten Spalte steht, also in der i-ten zeile das j-te Element.
Gesucht wird nun Basen mit solch einer Darstellungsmatrix,
Die in den erten r Spalten an den Stellen a_ii eine 1 haben, und bei der sonst alles =0 ist.
Nehmen wir nun die Abbildung f. Bild f [mm] \subseteq [/mm] W ist ein Vektorraum, ein Unterraum von W. Also hat Bild f eine Basis. Da dim W endlich, ist auch dim bild f endl. Sei
r:=dim (Bild f). (Jetzt kommt's: dim (bild f) bezeichnet man auch als Rrrrrrrrang der Abbildung, bzw. als Rang der darstellenden Matrix.)
Dann gibt es also eine Basis [mm] (w_1,...,w_r) [/mm] von Bild f.
Diese kann man durch passende Vektoren [mm] w_{r+1}, [/mm] ..., [mm] w_{m} [/mm] ergänzen zu einer Basis von W. (Basisergänzungssatz oder Austauschsatz v. Steinitz)
Da [mm] w-1,...w_r [/mm] das Bild aufspannen, gibt es Vektoren [mm] v_1,...,v_r \in [/mm] V mit [mm] f(v_i)=w_i [/mm] , i=1,...,r.
(Achtung: Es könnte durchaus mehrere vektoren geben, die z.B. auf [mm] v_1 [/mm] abgebildet werden. Wir suchen dann einen aus und nennen ihn [mm] v_1)
[/mm]
Weil die [mm] w_i [/mm] linear unabhängig sind, sind es auch die [mm] v_i. [/mm] (Das ist eine Eigenschaft linearer Abbildungen. ACHTUNG: das umgekehrte gilt nicht, die Bilder lin. unabh. Vektoren können durchaus lin. abhängig sein.)
So. Als nächstes betrachten wir den Kern von f. Der Kern ist ein VR, hat also eine Basis.
Es ist (Vorlesung) dim V= dim Kernf + dim Bildf ==> dim bildf=n-r.
Also gibt es eine Basis [mm] (v_{r+1},...,v_{n}) [/mm] des Kerns.
Beh.: [mm] (v_1,...,v_r,v_{r+1},....,v_n) [/mm] ist eine Basis von V.
Versuch das zu zeigen. Zu zeigen ist die lineare Unabhängigkeit. Im Verlaufe des Beweise mußt du einen Trick anwenden, nämlich f auf beide Seiten einer Gleichung anwenden. Du wirst's merken...
So, zu guter Letzt die Darstellungsmatriv bzgl. [mm] (v_i) [/mm] und [mm] (w_i).
[/mm]
In die erste Spalte kommt das Bild von [mm] v_1, [/mm] also [mm] f(v_1)=w_1=1w_1+0w_2+...+0w_r+0w_{r+1}+...+0w_m.
[/mm]
Also [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0 } [/mm] in die erste Spalte.
2. Spalte:...
usw. bis zur r-ten spalte.
r+1.-te Spalte [mm] f(v_{r+1})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ ... \\ 0 } [/mm] , denn jetzt sind wir bei der Basis des Kerns angekommen.
usw. bis zur n-ten Spalte
Gruß v. Angela
|
|
|
|
