Darstellung komplexer Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
kann mir jemand eine Möglichkeit geben, eine komplexe Funktion grafisch darzustellen (z.B. durch eine Wertetabelle und dann zeichnen)? Dass dafür kein kartesisches KS gewählt werden kann, ist mir klar.
z.B. für das komplexe Polynom f(z)=z³-z²(3+i)+z(1-4i)+1+5i (Die Nullstellen sind 1, 3+2i, -1-i)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> kann mir jemand eine Möglichkeit geben, eine komplexe
> Funktion grafisch darzustellen (z.B. durch eine
> Wertetabelle und dann zeichnen)? Dass dafür kein
> kartesisches KS gewählt werden kann, ist mir klar.
> z.B. für das komplexe Polynom f(z)=z³-z²(3+i)+z(1-4i)+1+5i
> (Die Nullstellen sind 1, 3+2i, -1-i)
Du meinst eine Funktion $f : [mm] \IC \to \IC$? [/mm] Eine wirkliche gute Darstellung gibt es nicht, welche am besten geeignet ist haengt immer vom Verwendungszweck ab.
Eine Moeglichkeit ist, den Betrag von $f$ zu zeichnen (in ein dreidimensionales Koordinatensystem), oder halt den Real- oder den Imaginaerteil.
Eine andere Moeglichkeit ist, das Koordinatengitter (Linien $y = 0$, $y = [mm] \pm [/mm] 1$, $y = [mm] \pm [/mm] 2$, ..., $x = 0$, $x = [mm] \pm [/mm] 1$, $x = [mm] \pm [/mm] 2$, ...) abzubilden und nur diese einzuzeichnen.
Und dann kann man noch viel mit Farben machen. Such doch mal nach `plot complex function' oder `visualize complex function' bei google. Da findest du z.B. ![[]](/images/popup.gif) das hier, das hier, das hier und has hier.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Danke. Mit den Links kann ich was anfangen!
> Eine Moeglichkeit ist, den Betrag von [mm]f[/mm] zu zeichnen (in ein
> dreidimensionales Koordinatensystem), oder halt den Real-
> oder den Imaginaerteil.
Meinst du Real- und Imaginärteil in die Ebene einzeichnen und den Betrag in die "z-Ebene"? Gehen mir dabei nicht Informationen über den Funktionsverlauf verloren?
> Eine andere Moeglichkeit ist, das Koordinatengitter (Linien
> [mm]y = 0[/mm], [mm]y = \pm 1[/mm], [mm]y = \pm 2[/mm], ..., [mm]x = 0[/mm], [mm]x = \pm 1[/mm], [mm]x = \pm 2[/mm],
> ...) abzubilden und nur diese einzuzeichnen.
Versteh ich nicht... Kannst du mir ein Beispiel nennen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Eine Moeglichkeit ist, den Betrag von [mm]f[/mm] zu zeichnen (in ein
> > dreidimensionales Koordinatensystem), oder halt den Real-
> > oder den Imaginaerteil.
>
> Meinst du Real- und Imaginärteil in die Ebene einzeichnen
> und den Betrag in die "z-Ebene"?
In die Ebene zeichnest du Real- ($x$-Achse) und Imaginaerteil ($y$-Achse) von $w [mm] \in \IC$ [/mm] ein, und in die $z$-Achse dann $|f(w)|$. Oder halt [mm] $\Re [/mm] f(w)$ (Realteil) oder [mm] $\Im [/mm] f(w)$ (Imaginaerteil).
> Gehen mir dabei nicht
> Informationen über den Funktionsverlauf verloren?
Natuerlich gehen da Informationen verloren. Das laesst sich nicht vermeiden.
Wenn du allerdings eine holomorphe Funktion hast, dann ist der Imaginaerteil schon eindeutig bis auf Addition einer Konstanten durch den Realteil bestimmt (und umgekehrt). Insofern geht dann eigentlich fast nichts verloren, man braucht allerdings schon etwas Erfahrung um den ``richtigen'' Funktionsverlauf daraus ablesen zu koennen...
> > Eine andere Moeglichkeit ist, das Koordinatengitter (Linien
> > [mm]y = 0[/mm], [mm]y = \pm 1[/mm], [mm]y = \pm 2[/mm], ..., [mm]x = 0[/mm], [mm]x = \pm 1[/mm], [mm]x = \pm 2[/mm],
> > ...) abzubilden und nur diese einzuzeichnen.
>
> Versteh ich nicht... Kannst du mir ein Beispiel nennen?
Wenn du z.B. $f(w) = [mm] \exp(w)$ [/mm] hast, und die Gerade [mm] $\Im [/mm] w = y = k$ betrachtest, $k [mm] \in \IZ$, [/mm] so ist diese ja durch [mm] $\{ x + i k \mid x \in \IR \}$ [/mm] gegeben. Diese wird durch $f$ auf [mm] $L_k [/mm] := [mm] \{ \exp(x + i k) = \exp(x) \exp(i k) \mid x \in \IR \}$ [/mm] abgebildet. Nun ist [mm] $\exp(i [/mm] k)$ ein Punkt auf dem Einheitskreisrand und [mm] $\exp(x) [/mm] > 0$, womit das Bild [mm] $L_k$ [/mm] ein Strahl ausgehend vom Nullpunkt durch [mm] $\exp(i [/mm] k)$ ist.
Nimmst du die Gerade [mm] $\Re [/mm] w = x = k$, $k [mm] \in \IZ$, [/mm] so ist diese durch [mm] $\{ k + i y \mid y \in \IR \}$ [/mm] gegeben. Abgebildet wird sie auf [mm] $K_k [/mm] := [mm] \{ \exp(k) \exp(i y) \mid y \in \IR \}$ [/mm] gegeben; dabei ist [mm] $\exp(k) [/mm] > 0$ eine Konstante und [mm] $\{ \exp(i y) \mid y \in \IR \}$ [/mm] der Einheitskreisrand. Also ist [mm] $K_k$ [/mm] ein Kreis mit Radius [mm] $\exp(k)$ [/mm] um den Nullpunkt.
Jetzt zeichne mal [mm] $L_k$ [/mm] und [mm] $K_k$ [/mm] fuer $k = -5, [mm] \dots, [/mm] 5$ in die Ebene ein. Dann siehst du, wohin [mm] $\exp$ [/mm] das `Koordinatensystem' gegeben durch die waargerechten und senkrechten Geraden $x = [mm] \pm [/mm] k$ und $y = [mm] \pm [/mm] k$, $k = -5, [mm] \dots, [/mm] 5$ abbildet!
LG Felix
|
|
|
| |
|
Super. Danke, hat mir geholfen!
|
|
|
|
