Darstellung d. Normalenvektors < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie stellt man den Normalenvektor mit einem Vektorprodukt dar? |
Hallo!
Zu meiner Frage:
Das ein Normalenvektor "einer Ebene [...] ein Vektor [ist], der senkrecht auf dieser Ebene steht. Er schließt also mit den die Ebene aufspannenden Vektoren jeweils einen rechten Winkel ein. Ein Normalenvektor ist zwangsläufig verschieden vom Nullvektor." weiß ich.
1.
Gibt es Normalenvektoren nur auf Ebenen und wie werden sie dort gebildet?
Einfach durch das Kreuzprodukt?
Und:
2.
Gibt es Normalenvektoren auch auf Geraden [Körpern...]?
Danke für die Hilfe!
JustinSane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Di 18.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Wie stellt man den Normalenvektor mit einem Vektorprodukt
> dar?
> Zu meiner Frage:
> Daß ein Normalenvektor "einer Ebene [...] ein Vektor
> [ist], der senkrecht auf dieser Ebene steht. Er schließt
> also mit den die Ebene aufspannenden Vektoren jeweils einen
> rechten Winkel ein. Ein Normalenvektor ist zwangsläufig
> verschieden vom Nullvektor." weiß ich.
>
> 1.
> Gibt es Normalenvektoren nur auf Ebenen und wie werden sie
> dort gebildet?
> Einfach durch das Kreuzprodukt?
Da es um die Schulmathematik geht, ist die Antwort 'ja'. Wenn ich 2 Spannvektoren habe, ist das Kreuzprodukt die einfachste Möglichkeit, einen Normalenvektor zu berechnen.
> Und:
>
> 2.
> Gibt es Normalenvektoren auch auf Geraden [Körpern...]?
In der Schule nicht, allenfalls noch auf Flächen, aber dann muß man sagen, an welcher Stelle.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort von der anderen Seite der Elbe!
Ich schreibe gerade meine Facharbeit und hätte da noch eine Frage:
Geometrisch gesehen "auf welcher Stelle steht" dieser Senkrechte Vektor?
Und ein rechenbeispiel wäre toll!
Was bräuchte ich für eine Beispielaufgabe?
- Eine Geraden-/Ebenengleichung
- Einen Punkt, auf dem der Normalenvektor stehen soll(?)
- Die Länge des Normalenvektors (?)
Ergibt sich eines aus den anderen? Wie hängen die einzelnen Teile zusammen?
Grüße,
JustinSane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Di 18.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo nochmal!
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort von der
> anderen Seite der Elbe!
Da nich für!
> Ich schreibe gerade meine Facharbeit und hätte da noch
> eine Frage:
> Geometrisch gesehen "auf welcher Stelle steht" dieser
> Senkrechte Vektor?
Wie sind denn Vektoren bei euch eingeführt worden? Ein Vektor kann zunächst einmal überall stehen.
> Und ein rechenbeispiel wäre toll!
> Was bräuchte ich für eine Beispielaufgabe?
> - Eine Geraden-/Ebenengleichung
Vielleicht x + y + z = 1
> - Einen Punkt, auf dem der Normalenvektor stehen soll(?)
Mein Vorschlag: Versuch ein Bild mit einem räumlichen Koordinatensystem in Schrägansicht. Habt ihr das im Unterricht gemacht? Eine Ebene kann man durch ihre Schnittpunkte mit den Koord.-Achsen visualisieren. Berechne 2 Spannvektoren und zeichne sie in das Bild, und zwar so, daß sie im gleichen Punkt anfangen. Und in dem Punkt läßt du dann auch deinen Normalenvektor anfangen.
> - Die Länge des Normalenvektors (?)
Es gibt zu einer festen Ebene viele Normalenvektoren, deswegen muß es auch 'ein' Normalenvektor heißen. Man kann ihn auf die Länge 1 normieren, dann hat man einen Normaleneinheitsvektor. Und man kann ihn so legen (durch Wahl des Vorzeichens), daß er vom Ursprung wegzeigt, dann hat man den Normaleneinheitsvektor.
> Ergibt sich eines aus den anderen? Wie hängen die einzelnen
> Teile zusammen?
Gruß aus Harburg (für dich wie Norditalien)
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Di 18.04.2006 | | Autor: | JustinSane |
Wiederum danke...
Nun, ganz so ein Leichtmatrose bin ich in der Vektorrechnung zum Glück nicht mehr, will heißen ich kann die tollsten Koordinatensysteme mit unterschiedlichsten Winkeln zwischen den Achsen zeichnen und bekomm dann sogar noch die Punkte aufgetragen ;)
Der letzte Teil deiner Antwort ist allerdings interessanter. Ich erarbeite mir das Thema selbst, deshalb wirke ich dabei vielleicht etwas unsicher, aber soweit ich das beurteilen kann hab ich eine halbwegs solide Basis :)
Mein Fazit:
1. Normalenvektoren stehen senkrecht auf einer Ebene/Gerade.
2. Es gibt für jede Gerade/Ebene unendlich Normalenvektoren.
3. Die Orientierung eines Normalenvektors ist nicht festgelegt
=> Oder müssen zb bei einer Ebene die Normalenvektoren mit den Richtungsvektoren ein Rechts-/Linkssystem bilden?
4. Die Länge des Normalenvektors ist nicht festgelegt.
5. Ein Normalenvektor mit der Länge 1Längeneinheit heißt Normaleneinheitsvektor
hab ich noch etwas vergessen? Bitte korregieren, falls etwas falsch ist!!!
Ps. Ist beispielsweise in einer bestimmten Aufgabenstellung ein Punkt angegeben, durch den der Normalenvektor gehen soll (in dem er enden soll), ist der N.vektor festgelegt (im 1. Fall "wo" er sitzt, sprich Richtung und Orientierung, im 2. zusätzlich der Betrag des N.v.)?
Grüße
Justin Sane
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Wiederum danke...
Nun, ganz so ein Leichtmatrose bin ich in der Vektorrechnung zum Glück nicht mehr, will heißen ich kann die tollsten Koordinatensysteme mit unterschiedlichsten Winkeln zwischen den Achsen zeichnen und bekomm dann sogar noch die Punkte aufgetragen ;)
Der letzte Teil deiner Antwort ist allerdings interessanter. Ich erarbeite mir das Thema selbst, deshalb wirke ich dabei vielleicht etwas unsicher, aber soweit ich das beurteilen kann hab ich eine halbwegs solide Basis :)
Mein Fazit:
1. Normalenvektoren stehen senkrecht auf einer Ebene/Gerade.
2. Es gibt für jede Gerade/Ebene unendlich Normalenvektoren.
3. Die Orientierung eines Normalenvektors ist nicht festgelegt
=> Oder müssen zb bei einer Ebene die Normalenvektoren mit den Richtungsvektoren ein Rechts-/Linkssystem bilden?
4. Die Länge des Normalenvektors ist nicht festgelegt.
5. Ein Normalenvektor mit der Länge 1Längeneinheit heißt Normaleneinheitsvektor
hab ich noch etwas vergessen? Bitte korregieren, falls etwas falsch ist!!!
Ps. Ist beispielsweise in einer bestimmten Aufgabenstellung ein Punkt angegeben, durch den der Normalenvektor gehen soll (in dem er enden soll), ist der N.vektor festgelegt (im 1. Fall "wo" er sitzt, sprich Richtung und Orientierung, im 2. zusätzlich der Betrag des N.v.)?
Grüße
Justin Sane > Wiederum danke...
> Nun, ganz so ein Leichtmatrose bin ich in der
> Vektorrechnung zum Glück nicht mehr, will heißen ich kann
> die tollsten Koordinatensysteme mit unterschiedlichsten
> Winkeln zwischen den Achsen zeichnen und bekomm dann sogar
> noch die Punkte aufgetragen ;)
> Der letzte Teil deiner Antwort ist allerdings
> interessanter. Ich erarbeite mir das Thema selbst, deshalb
> wirke ich dabei vielleicht etwas unsicher, aber soweit ich
> das beurteilen kann hab ich eine halbwegs solide Basis :)
>
> Mein Fazit:
> 1. Normalenvektoren stehen senkrecht auf einer
> Ebene/Gerade.
> 2. Es gibt für jede Gerade/Ebene unendlich
> Normalenvektoren.
> 3. Die Orientierung eines Normalenvektors ist nicht
> festgelegt
> => Oder müssen zb bei einer Ebene die Normalenvektoren mit
> den Richtungsvektoren ein Rechts-/Linkssystem bilden?
> 4. Die Länge des Normalenvektors ist nicht festgelegt.
> 5. Ein Normalenvektor mit der Länge 1Längeneinheit heißt
> Normaleneinheitsvektor
>
> hab ich noch etwas vergessen? Bitte korregieren, falls
> etwas falsch ist!!!
>
> Ps. Ist beispielsweise in einer bestimmten Aufgabenstellung
> ein Punkt angegeben, durch den der Normalenvektor gehen
> soll (in dem er enden soll), ist der N.vektor festgelegt
> (im 1. Fall "wo" er sitzt, sprich Richtung und
> Orientierung, im 2. zusätzlich der Betrag des N.v.)?
>
> Grüße
> Justin Sane
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Di 18.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Wiederum danke...
> Nun, ganz so ein Leichtmatrose bin ich in der
> Vektorrechnung zum Glück nicht mehr, will heißen ich kann
> die tollsten Koordinatensysteme mit unterschiedlichsten
> Winkeln zwischen den Achsen zeichnen und bekomm dann sogar
> noch die Punkte aufgetragen ;)
> Der letzte Teil deiner Antwort ist allerdings
> interessanter. Ich erarbeite mir das Thema selbst, deshalb
> wirke ich dabei vielleicht etwas unsicher, aber soweit ich
> das beurteilen kann hab ich eine halbwegs solide Basis :)
>
> Mein Fazit:
> 1. Normalenvektoren stehen senkrecht auf einer
> Ebene/Gerade.
Bei Geraden spricht man nicht von Normalenvektoren.
> 2. Es gibt für jede Gerade/Ebene unendlich
> Normalenvektoren.
s. o. Bei Ebenen haben sie alle die gleiche Richtung (Je 2 sind linear abhängig).
> 3. Die Orientierung eines Normalenvektors ist nicht
> festgelegt
> => Oder müssen zb bei einer Ebene die Normalenvektoren mit
> den Richtungsvektoren ein Rechts-/Linkssystem bilden?
Das geht schon deswegen nicht, weil die Spannvektoren ja auch nicht orientiert sind. Welcher zeigt nach links und welcher nach rechts? Hm
> 4. Die Länge des Normalenvektors ist nicht festgelegt.
..eines Normalenvektors..
> 5. Ein Normalenvektor mit der Länge 1Längeneinheit heißt
> Normaleneinheitsvektor
Davon gibt es 2.
> hab ich noch etwas vergessen? Bitte korrigieren, falls
> etwas falsch ist!!!
>
> Ps. Ist beispielsweise in einer bestimmten Aufgabenstellung
> ein Punkt angegeben, durch den der Normalenvektor gehen
> soll (in dem er enden soll), ist der N.vektor festgelegt
> (im 1. Fall "wo" er sitzt, sprich Richtung und
> Orientierung, im 2. zusätzlich der Betrag des N.v.)?
Eher nein! Du mußt erst genau sagen, was bei dir ein Vektor ist. Bei mir ist es eine Menge von gleichgerichteten und gleichlangen Pfeilen. Jeder einzelne Pfeil ist dann ein Vertreter dieses Vektors.
Ein Normalenvektor muß nicht auf der Ebene sitzen!
Jetzt alles schön unklar?
Gruß
Dieter
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