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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:41 Mo 28.04.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Seien V und W zwei Darstellungen einer Liealgebra g.
1. Zeige: Durch die Vorschrift
[mm] x(v\otimes [/mm] w)= [mm] (xv)\otimes [/mm] w + [mm] v\otimes [/mm] (xw) [mm] \forall x\in g,v\in [/mm] V, [mm] w\in [/mm] W
wird [mm] V\otimes [/mm] W zu einer Darstellung von g.
2. Der Homomorphismenraum Hom(V,W) ist eine Darstellung von g durch die Vorschrift
(xf)(v)= x(f(v))-f(xv) [mm] \forall x\in [/mm] g, [mm] v\in [/mm] V, [mm] f\in [/mm] Hom(V,W)
3. Zeige: Die kanonische Abbildung [mm] V*\otimesW* \to [/mm] Hom(V,W) von Vektorräumen ist ein Isomorphismus von Darstellungen. |
Wenn ich das richtig verstanden habe muss man erstmal gucken ob es einen Liealgebrenhomomorphismus zwischen g und [mm] End(V\otimes [/mm] W) gibt.
Die lineare Abbildung wäre doch dabei [mm] f(x)=x(v\otimes [/mm] w), richtig?
Dann müsste man überprüfen ob [mm] f(\lambdax+y) [/mm] = [mm] \lambdaf(x)+f(y) [/mm] gilt.
Ist das die richtige lineare ABbildung die ich da überprüfe?
Dann muss man gucken ob f([x,y])=[f(x),f(y)] und genau da hakt es leider immer noch bei mir. Ist die Lieklammer hier einfach wieder xy-yx?
Wenn ja komme ich so weit:
[mm] [x,y](v\otimes [/mm] w)= [mm] (xy-yx)(v\otimes [/mm] w) = [mm] xy(v\otimes w)-yx(v\otimes [/mm] w)= [mm] xyv\otimes w+v\otimes [/mm] xyw- [mm] yxv\otimes [/mm] w- [mm] v\otimes [/mm] yxw
Ich weiß dass man da mithilfe der Tensorproduktdefinition noch was zusammenfassen kann, so dass man hat:
[mm] (xyv-yxv)\otimes [/mm] w + [mm] v\otimes [/mm] (xyw-yxw)
Aber dann komme ich einfach nicht weiter.
Bei der zweiten verhällt es sich ähnlich die lineare Abbildung kriege ich noch hin aber dann gibt es ein Problem mit der Lieklammer.
[x,y]f(v)=(xy-yx)f(v)=(xy-yx)(f(v))-f((xy-yx)v)=xy(f(v))-yx(f(v))-f(xyv)+f(yxv) und dann komme ich nicht weiter. Steckt da vielleicht einfach ein Trick dahinter?
Bei der dritten das verstehe ich das gar nicht. Hat nicht [mm] V*\otimesW* [/mm] die Dimension 2n und Hom(V,W) die Dimension n?
Oder ist mir da was völlig entgangen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 03.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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