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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Fr 30.12.2005 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Für die im folgenden gegebenen linearen Abbildungen A: [mm] \IR \to \IR [/mm] untersuche man jeweils, ob es eine Basis B von [mm] \IR [/mm] und Zahlen [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] gibt, so dass A bezüglich der Basis B durch die Matrix [mm] \pmat{ \alpha & 0 \\ 0 & \beta } [/mm] beschrieben wird; gegebenenfalls bestimme man B, [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta
[/mm]
(i)
A wird bezüglich der kanonischen Basis von [mm] \IR^{2} [/mm] durch die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] gegeben.
(ii)
A wird bezüglich der kanonischen Basis von [mm] \IR^2 [/mm] durch die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0} [/mm] gegeben
Bemerkung: Im Falle ihrer Existenz sind die Zahlen [mm] \alpha, \beta [/mm] (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmt; man nennt sie die Eigenwerte von A |
Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe blicke ich bis zu einem bestimmten Punkt durch, weiss dann aber nicht mehr weiter bzw. komme sogar ins Zweifeln, ob ich überhaupt richtig angesetzt habe.
Also:
[u] zu (i) [u]
A(1,0) = [mm] a_{11} [/mm] (1,0) + [mm] a_{21} [/mm] (0,1) [mm] \Rightarrow [/mm] A(1,0) = (0,1) nach Vorr.
A(0,1) = [mm] a_{12} [/mm] (1,0) + [mm] a_{22} [/mm] (0,1) [mm] \Rightarrow [/mm] A(0,1) = (1,0) nach Vorr.
somit: A: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] mit ( [mm] x_{1}, x_{2}) \mapsto [/mm] [b] ( [mm] x_{2}, x_{1}) [/mm] [b]
dann:
sei {( [mm] b_{1}, b_{2}), [/mm] ( [mm] b_{3}, b_{4})} [/mm] eine mögliche Basis von A
A(( [mm] b_{1}, b_{2})) [/mm] = [mm] a_{11} [/mm] ( [mm] b_{1}, b_{2})+ a_{12} [/mm] ( [mm] b_{3}, b_{4}) \Rightarrow [/mm] A(( [mm] b_{1}, b_{2})) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] ( [mm] b_{1}, b_{2}) [/mm] nach Vorr.
A(( [mm] b_{3}, b_{4})) [/mm] = [mm] a_{12} [/mm] ( [mm] b_{1}, b_{2})+ a_{22} [/mm] ( [mm] b_{3}, b_{4}) \Rightarrow [/mm] A(( [mm] b_{3}, b_{4})) [/mm] = [mm] \beta [/mm] ( [mm] b_{3}, b_{4}) [/mm] nach Vorr.
schließlich:
LGS:
I [mm] b_{2} [/mm] = [mm] \alpha b_{1} \Rightarrow b_{1} [/mm] = [mm] \bruch{ b_{2}}{ \alpha}
[/mm]
II [mm] b_{1} [/mm] = [mm] \alpha b_{2}
[/mm]
LGS [mm] \Rightarrow \bruch{ b_{2}}{ \alpha} [/mm] = [mm] \alpha b_{2} \Rightarrow \alpha^{2} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = 1 oder -1
[i] [mm] \alpha [/mm] = 1 [i]
[mm] b_{1} [/mm] = [mm] b_{2}
[/mm]
[i] [mm] \alpha [/mm] = -1 [i]
[mm] b_{1} [/mm] = - [mm] b_{2}
[/mm]
Für [mm] b_{3}, b_{4} [/mm] gilt das "Selbe".
Jeweils in beiden Fällen bedeutet das für mich, dass keine Basis B existieren kann, so dass A bzgl. der Basis B durch eben aufgeführte Matrix beschrieben werden kann, denn um eine solche (2x2)-Matrix erzeugen zu können wäre eine Basis mit 2 Elementen nötig und 2 Elemente der Form (a,a) oder (a,-a) oder (-a,a) ... können nicht linear unabhängig sein.
[u] zu (ii) [u]
Diesen Aufgabenteil habe ich genauso behandelt wie (i) so dass:
...
somit: A: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] mit ( [mm] x_{1}, x_{2}) \mapsto [/mm] [b] ( [mm] x_{2}, x_{1}) [/mm] [b]
...
schließlich:
LGS:
I [mm] b_{2} [/mm] = [mm] \alpha b_{1} [/mm]
II - [mm] b_{1} [/mm] = [mm] \alpha b_{2} \Rightarrow b_{2} [/mm] = [mm] \bruch{- b_{1}}{ \alpha}
[/mm]
LGS [mm] \Rightarrow \bruch{- b_{1}}{ \alpha} [/mm] = [mm] \alpha b_{1} \Rightarrow \alpha^{2} [/mm] = -1
Das wäre dann nicht möglich, da [mm] \alpha \in \IR [/mm] und in [mm] \IR [/mm] existiert keine Lösung für [mm] \wurzel{-1}. [/mm] Also würde auch in diesem Aufgabenteil keine Matrix der eben aufgeführten Form zur Beschreibung von A existieren.
Also wer kann mir sagen wo meine Fehler sind? Denn ich gehe nicht davon aus, dass ich eine Aufgabe in dieser Form gestellt bekomme und es in beiden Aufgabenteilen keine Eigenwerte gibt.
Danke schon mal. Gruß, Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Oeli!
Deine Frage wurde vor wenigen Tagen schon einmal gestellt. Ich habe sie hier beantwortet.
Deine Ausführungen habe ich mir nicht durchgelesen, daher markiere ich die Frage erst als teilweise beantwortet.
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Patrick!
Dein Fehler liegt hier:
Die Fälle [mm] $\alpha=1=\beta$ [/mm] und [mm] $\alpha=-1=\beta$ [/mm] führen zu dem von dir aufgeführten Widerspruch, das ist richtig.
Allerdings sind durchaus die Fälle [mm] $\alpha=1$ [/mm] und [mm] $\beta=-1$ [/mm] bzw. [mm] $\alpha=-1$ [/mm] und [mm] $\beta=1$ [/mm] denkbar. In diesem Fall könnte man etwa auf [mm] $b_1=b_2$ [/mm] und [mm] $b_3=-b_4$ [/mm] schließen, und
[mm] $\left\{ \pmat{1 \\ 1}, \pmat{1 \\ -1} \right\}$
[/mm]
wäre eine Basis der gesuchten Form.
Liebe Grüße
Stefan
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