Darstellende Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Fr 31.12.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Es seien [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] die Basen [mm] B_{1}= [/mm] { 1, x, [mm] x^{2}, x^{3} [/mm] } und [mm] B_{2}= [/mm] { 1, x, x(x-1), x(x-1)(x-2) } des [mm] \IR_{\le3}[x]. [/mm] Außerdem sei D die lineare Abbildung
D: [mm] \IR_{\le3}[x] \to \IR_{\le3}[x]
[/mm]
p(x) [mm] \mapsto [/mm] p(x+1) - p(x)
(Um die Definition von D zu verdeutlichen: ist beispielsweise p das Polynom [mm] x^{2}-2x, [/mm] so ist D(p) das Polynom [mm] (x+1)^{2}-2(x+1)-(x^{2}-2x)=2x-1.)
[/mm]
(i) Bestimme die Transformationsmatrix
[mm] S_{B_{1} \to B_{2}}=K_{B_{2}} \circ K_{B_{1}}^{-1}
[/mm]
beim Basiswechsel von [mm] B_{1} [/mm] nach [mm] B_{2}.
[/mm]
(ii) Bestimme die darstellenden Matrizen [mm] D_{B_{1}} [/mm] und [mm] D_{B_{2}} [/mm] von D bezüglich der Basen [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] des [mm] \IR_{\le3}[x]. [/mm] |
Meine Frage bezieht sich eigentlich nur auf Teil (ii) der Aufgabe.
Den Rest habe ich gemacht.
Nur kurz hier meine Zwischenergebnisse:
die Basis [mm] B_{2} [/mm] habe ich umgeschrieben in { 1, x, [mm] x^{2}-x, x^{3}-3x+2x}.
[/mm]
Für [mm] K_{B_{1}} [/mm] habe ich [mm] \vektor{d \\ c \\ b \\ a}. [/mm] Habe den Beweis geführt und war anscheinend auch richtig!
Für [mm] K_{B_{2}} [/mm] habe ich [mm] \vektor{d \\ a+b+c \\ 3a+b \\ a}. [/mm] Auch dieser war scheinbar nach Beweisführung richtig!
Dann [mm] K_{B_{1}}^{-1} [/mm] (ich habe hier nicht mehr die Buchstaben a bis d verwendet, sondern bin im Alphabet weitergewandert). Hier habe ich:
[mm] K_{B_{1}}^{-1}:= \IR^{4} \to \IR_{\le3}[x]
[/mm]
[mm] \vektor{e \\ f \\ g \\ h} \mapsto hx^{3}+gx^{2}+fx+e
[/mm]
Transformationsmatrix:
[mm] S\vektor{\vektor{e \\ f \\ g \\ h}}=(K_{B_{2}} \circ K_{B_{1}}^{-1} \vektor{e \\ f \\ g \\ h}=K_{B_{2}}(K_{B_{1}}^{-1} \vektor{\vektor{e \\ f \\ g \\ h}})
[/mm]
[mm] =K_{B_{2}}(hx^{3}+gx^{2}+fx+e)=\vmat{ e \\ h+g+f \\ 3h+g \\ h }
[/mm]
[mm] =\vmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 } \vmat{ e \\ f \\ g \\ h }
[/mm]
Dementsprechend habe ich für [mm] S=\vmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Nun zu (ii):
Vom Grundsatz weiß ich was ich machen muss und will nur wissen, ob und wenn ja, was ich falsch habe. Denn ein kleines Problem hatte ich dann doch!
Das Polynom habe ich ausgerechnet mit
[mm] p(x)=3ax^{2}+(3a+2b)x+(a+b+c)
[/mm]
Und hier ist schon meine erste Frage: ist das okay dass das [mm] x^{3} [/mm] einfach raus fliegt oder hab ich mich verrechnet?
Und dann die nächste Frage:
Bei [mm] D_{B_{1}}
[/mm]
für i=1, also das erste Basiselement, ... da steht doch dann
[mm] D(1)=3ax^{2}+(3a+2b)x+(a+b+c)
[/mm]
Bleibt jetzt alles was mit x ist weg? da ich ja nur das "d" von dem ursprünglichen Polynom nehme?
Dann würde da ja nur noch stehen: D(1)=(a+b+c)=3 (?? haut das hin?)
Und dann würde [mm] K_{B_{1}}(3) [/mm] bedeuten, dass die erste Spalte [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3} [/mm] sein würde. Oder nimmt man das ganze Polynom und hat dann [mm] K_{B_{1}}(3ax^{2}+(3a+2b)x+(a+b+c)) [/mm] ?
Aber dann würde ja jede Spalte gleich sein, da ja in diesem Fall der Koordinatenvektor nur aus "einzelnen Buchstaben" besteht.
Also quasi meine Frage: bei den einzelnen Spalten für die darstellende Matrix... setze ich nur das Basisglied ein, welches ich gerade berechne (z.B. bei i=3 setze ich dann nur [mm] x^{2} [/mm] ein und lasse alles andere weg? Das ist eigentlich meine Frage! Denn das ist so eine Aufgabe, wo wir im Buch und im Tutorium etc. immer eine Basis Polynom 2. Grades und beide Basisvektoren enthalten ein a und ein b. Also weiß man natürlich nicht, ob da nun immer alles eingesetzt wird, oder nur das, was man gerade hat als Basisvektor.
Danke schon mal!
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Hallo lexjou,
> Es seien [mm]B_{1}[/mm] und [mm]B_{2}[/mm] die Basen [mm]B_{1}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ 1, x, [mm]x^{2}, x^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } und [mm]B_{2}=[/mm] { 1, x, x(x-1), x(x-1)(x-2) } des
> [mm]\IR_{\le3}[x].[/mm] Außerdem sei D die lineare Abbildung
>
> D: [mm]\IR_{\le3}[x] \to \IR_{\le3}[x][/mm]
> p(x) [mm]\mapsto[/mm] p(x+1) -
> p(x)
>
> (Um die Definition von D zu verdeutlichen: ist
> beispielsweise p das Polynom [mm]x^{2}-2x,[/mm] so ist D(p) das
> Polynom [mm](x+1)^{2}-2(x+1)-(x^{2}-2x)=2x-1.)[/mm]
>
> (i) Bestimme die Transformationsmatrix
>
> [mm]S_{B_{1} \to B_{2}}=K_{B_{2}} \circ K_{B_{1}}^{-1}[/mm]
>
> beim Basiswechsel von [mm]B_{1}[/mm] nach [mm]B_{2}.[/mm]
>
> (ii) Bestimme die darstellenden Matrizen [mm]D_{B_{1}}[/mm] und
> [mm]D_{B_{2}}[/mm] von D bezüglich der Basen [mm]B_{1}[/mm] und [mm]B_{2}[/mm] des
> [mm]\IR_{\le3}[x].[/mm]
> Meine Frage bezieht sich eigentlich nur auf Teil (ii) der
> Aufgabe.
> Den Rest habe ich gemacht.
>
> Nur kurz hier meine Zwischenergebnisse:
>
> die Basis [mm]B_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
habe ich umgeschrieben in { 1, x, [mm]x^{2}-x, x^{3}-3x+2x}.[/mm]
>
> Für [mm]K_{B_{1}}[/mm] habe ich [mm]\vektor{d \\ c \\ b \\ a}.[/mm] Habe den
> Beweis geführt und war anscheinend auch richtig!
>
> Für [mm]K_{B_{2}}[/mm] habe ich [mm]\vektor{d \\ a+b+c \\ 3a+b \\ a}.[/mm]
> Auch dieser war scheinbar nach Beweisführung richtig!
>
> Dann [mm]K_{B_{1}}^{-1}[/mm] (ich habe hier nicht mehr die
> Buchstaben a bis d verwendet, sondern bin im Alphabet
> weitergewandert). Hier habe ich:
>
> [mm]K_{B_{1}}^{-1}:= \IR^{4} \to \IR_{\le3}[x][/mm]
>
>
> [mm]\vektor{e \\ f \\ g \\ h} \mapsto hx^{3}+gx^{2}+fx+e[/mm]
>
> Transformationsmatrix:
>
> [mm]S\vektor{\vektor{e \\ f \\ g \\ h}}=(K_{B_{2}} \circ K_{B_{1}}^{-1} \vektor{e \\ f \\ g \\ h}=K_{B_{2}}(K_{B_{1}}^{-1} \vektor{\vektor{e \\ f \\ g \\ h}})[/mm]
>
> [mm]=K_{B_{2}}(hx^{3}+gx^{2}+fx+e)=\vmat{ e \\ h+g+f \\ 3h+g \\ h }[/mm]
>
> [mm]=\vmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 } \vmat{ e \\ f \\ g \\ h }[/mm]
>
> Dementsprechend habe ich für [mm]S=\vmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Nun zu (ii):
>
> Vom Grundsatz weiß ich was ich machen muss und will nur
> wissen, ob und wenn ja, was ich falsch habe. Denn ein
> kleines Problem hatte ich dann doch!
>
> Das Polynom habe ich ausgerechnet mit
>
> [mm]p(x)=3ax^{2}+(3a+2b)x+(a+b+c)[/mm]
Offenbar hast Du hier das Polynom
[mm]a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d[/mm]
der Abbildung D unterworfen.
>
> Und hier ist schon meine erste Frage: ist das okay dass das
> [mm]x^{3}[/mm] einfach raus fliegt oder hab ich mich verrechnet?
Nein, Du hast Dich nicht verrrechnet.
>
> Und dann die nächste Frage:
>
> Bei [mm]D_{B_{1}}[/mm]
> für i=1, also das erste Basiselement, ... da steht doch
> dann
>
> [mm]D(1)=3ax^{2}+(3a+2b)x+(a+b+c)[/mm]
Welches Basiselement bildet hierauf ab?
>
> Bleibt jetzt alles was mit x ist weg? da ich ja nur das "d"
> von dem ursprünglichen Polynom nehme?
> Dann würde da ja nur noch stehen: D(1)=(a+b+c)=3 (?? haut
> das hin?)
> Und dann würde [mm]K_{B_{1}}(3)[/mm] bedeuten, dass die erste
> Spalte [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3}[/mm] sein würde. Oder nimmt
> man das ganze Polynom und hat dann
> [mm]K_{B_{1}}(3ax^{2}+(3a+2b)x+(a+b+c))[/mm] ?
> Aber dann würde ja jede Spalte gleich sein, da ja in
> diesem Fall der Koordinatenvektor nur aus "einzelnen
> Buchstaben" besteht.
>
> Also quasi meine Frage: bei den einzelnen Spalten für die
> darstellende Matrix... setze ich nur das Basisglied ein,
> welches ich gerade berechne (z.B. bei i=3 setze ich dann
> nur [mm]x^{2}[/mm] ein und lasse alles andere weg? Das ist
> eigentlich meine Frage! Denn das ist so eine Aufgabe, wo
> wir im Buch und im Tutorium etc. immer eine Basis Polynom
> 2. Grades und beide Basisvektoren enthalten ein a und ein
> b. Also weiß man natürlich nicht, ob da nun immer alles
> eingesetzt wird, oder nur das, was man gerade hat als
> Basisvektor.
Es werden immer nur die Basiselemente der Abbildung D unterzogen.
Daraus baut sich dann die Darstellungsmatrix auf.
>
> Danke schon mal!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Sa 01.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo Mathepower,
ich wusste es :) ich hab gesehen Du bist online und habe gehofft Du antwortest auf meine Frage :)
Ich weiß nicht ob ich es hingeschrieben hatte... ich habe auch gerade gesehen dass er meinen Text nicht richtig angezeigt hat. Ich hatte mir aber die Vorschau anzeigen lassen und da gab es keine "Eingabefehler".... komisch...
Na egal.
Also D habe ich deshalb so dem Polynom unterworfen, weil dort stand, dass es ein Polynom [mm] \IR_{le3}[x] [/mm] sein soll.
Ist das falsch? Ich dachte, ich rechne dann, wenn nichts "genaues" definiert ist, mit dem allgemeinen Polynom!
Also wäre mein erstes Element in der Darstellunngsmatrix
[mm] \vektor{ a+b+c \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ?
So habe ich das jetzt aus meinem Buch interpretiert... Das zweite entsprechend
[mm] \vektor{ 0 \\ 3a+2b \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
das Dritte
[mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 3a \\0 }
[/mm]
und das Vierte
[mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Da ich so das Polynom darstellen kann.
Das Einzige was ich jetzt noch nicht weiß ist, ob ich es in dieser Reinfolge angeben soll oder in der Reinfolge
[mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d}
[/mm]
Weil ich es ja jetzt umgedreht habe. Aber wie Du schon geschrieben hast bezieht es sich ja auf die Basiselemente und wenn ich dann meine erste Spalte aus der Darstellungsmatrix mit dem ersten Basiselement multipliziere + 2. Spalte*2. Basiselement + .... etc dann komme ich ja auf dieses Polynom.
Also müsste das richtig sein, oder?
Was ich gestern gepostet habe zur letzten Aufgabe war auf jeden Fall falsch! Das hab ich dann auch gemerkt :)
Danke Dir nochmals für Deine Antwort und vielleicht für einen Hinweis, ob das hier diesemal richtig ist oder nicht!
LG und ein gesundes, erfolgreiches Jahr 2011!!
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Hallo lexjou,
> Hallo Mathepower,
>
> ich wusste es :) ich hab gesehen Du bist online und habe
> gehofft Du antwortest auf meine Frage :)
>
> Ich weiß nicht ob ich es hingeschrieben hatte... ich habe
> auch gerade gesehen dass er meinen Text nicht richtig
> angezeigt hat. Ich hatte mir aber die Vorschau anzeigen
> lassen und da gab es keine "Eingabefehler".... komisch...
>
> Na egal.
>
> Also D habe ich deshalb so dem Polynom unterworfen, weil
> dort stand, dass es ein Polynom [mm]\IR_{le3}[x][/mm] sein soll.
>
> Ist das falsch? Ich dachte, ich rechne dann, wenn nichts
> "genaues" definiert ist, mit dem allgemeinen Polynom!
>
> Also wäre mein erstes Element in der Darstellunngsmatrix
>
> [mm]\vektor{ a+b+c \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] ?
>
> So habe ich das jetzt aus meinem Buch interpretiert... Das
> zweite entsprechend
>
> [mm]\vektor{ 0 \\ 3a+2b \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> das Dritte
>
> [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 3a \\0 }[/mm]
>
> und das Vierte
>
> [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Da ich so das Polynom darstellen kann.
>
> Das Einzige was ich jetzt noch nicht weiß ist, ob ich es
> in dieser Reinfolge angeben soll oder in der Reinfolge
>
> [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\ d}[/mm]
>
> Weil ich es ja jetzt umgedreht habe. Aber wie Du schon
> geschrieben hast bezieht es sich ja auf die Basiselemente
> und wenn ich dann meine erste Spalte aus der
> Darstellungsmatrix mit dem ersten Basiselement
> multipliziere + 2. Spalte*2. Basiselement + .... etc dann
> komme ich ja auf dieses Polynom.
>
> Also müsste das richtig sein, oder?
>
Nein, das ist nicht richtig.
Das Polynom
[mm]a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d[/mm]
hat in der Basis [mm]1,x,x^{2},x^{3}[/mm] diese Darstellung:
[mm]\pmat{d\\c \\ b \\a}[/mm]
Unterwirfst Du das der Abbildung D, so entsteht das Polynom
[mm]3a*x^{2}+\left(3a+2b\right)*x+\left(a+b+c\right)[/mm]
Dann hat dieses Polynom in der Basis [mm]1,x,x^{2},x^{3}[/mm] diese Darstellung:
[mm]\pmat{a+b+c\\ 3a+2b \\3a \\ 0}[/mm]
Basiselemente sind doch [mm]1,x,x^{2},x^{3}[/mm]
> Was ich gestern gepostet habe zur letzten Aufgabe war auf
> jeden Fall falsch! Das hab ich dann auch gemerkt :)
>
> Danke Dir nochmals für Deine Antwort und vielleicht für
> einen Hinweis, ob das hier diesemal richtig ist oder
> nicht!
>
> LG und ein gesundes, erfolgreiches Jahr 2011!!
Danke, gleichfalls.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Sa 01.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Ah ja! Klar! Ach wie logisch!!!! man... man denkt manchmal zu kompliziert!
Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 01.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Sorry... noch eine Frage:
bei der zweiten Matrixdarstellung... da habe ich doch als 3. Basiselement [mm] (x^{2}-x).
[/mm]
Wie setze ich das in das Polynom ein?
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Hallo lexjou,
> Sorry... noch eine Frage:
>
> bei der zweiten Matrixdarstellung... da habe ich doch als
> 3. Basiselement [mm](x^{2}-x).[/mm]
Ja.
>
> Wie setze ich das in das Polynom ein?
>
Nun, bilde das Polynom [mm](x^{2}-x).[/mm] durch die Abbildung D ab.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Sa 01.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Wie genau meinst Du das? Sorry, ich hab noch ein bisschen Silvester im Kopf...
Also ich sitze ja nicht untätig hier herum und warte bis Du mir eine Antwort schreibst ;) ich will es ja schließlich selbst auch verstehen und lernen!!
Ich habe Folgendes gemacht:
[mm] D(x^{2}-x)=3ax^{2}-(3a+2b)x
[/mm]
[mm] K_{B_{2}}(3a-(3a+2b))=K_{B_{2}}(-2b)=3a-2b
[/mm]
Da ja "c" bei [mm] K_{B_{2}} [/mm] = 3a+b und wenn ich -2b dort einsetze, dann erhalte ich 3a-2b. Das wäre dann die dritte Zeile in der Darstellungsmatrix.
Völlig falsch, oder??
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Hallo lexjou,
> Wie genau meinst Du das? Sorry, ich hab noch ein bisschen
> Silvester im Kopf...
>
> Also ich sitze ja nicht untätig hier herum und warte bis
> Du mir eine Antwort schreibst ;) ich will es ja
> schließlich selbst auch verstehen und lernen!!
>
> Ich habe Folgendes gemacht:
>
> [mm]D(x^{2}-x)=3ax^{2}-(3a+2b)x[/mm]
> [mm]K_{B_{2}}(3a-(3a+2b))=K_{B_{2}}(-2b)=3a-2b[/mm]
>
> Da ja "c" bei [mm]K_{B_{2}}[/mm] = 3a+b und wenn ich -2b dort
> einsetze, dann erhalte ich 3a-2b. Das wäre dann die dritte
> Zeile in der Darstellungsmatrix.
>
> Völlig falsch, oder??
Nun, wenn Du das Polynom [mm]x^{2}-x[/mm] der Abbildung D unterwirfst,
dann steht da:
[mm]D\left(x^{2}-x\right)=\left( \ \left(x+1\right)^{2}-\left(x+1\right) \ \right) -\left(x^{2}-x\right)[/mm]
Stelle dies wieder als Linearkombination der Basiselemente [mm]1,\ x, \x*\left(x-1\right), \ x*\left(x-1\right)*\left(x-2\right)[/mm] dar.
Diese Linearkombination ist dann die
3. Spalte der Darstellungsmatrix.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Sa 01.01.2011 | | Autor: | lexjou |
hm... oh Moment... das dauert jetzt in der Verarbeitung in meinem Kopf ;)
Aber nochmal kurz zurück zur Darstellungsmatrix von der ersten Basis:
Du hattest ja geschrieben, dass die Matrix folgendermaßen aussieht:
[mm] \vektor{a+b+c \\ 3a+2b \\ 3a \\ 0}
[/mm]
Das heißt also, die "komplette" Darstellungsmatrix - die ja 4 Spalten haben muss - sehe dann so aus: (?)
[mm] \pmat{ a+b+c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3a+2b & 0 & 0 \\ 0& 0 & 3a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Ist das richtig?
So... und nun nochmal zu dem was Du eben geschrieben hast:
3a-2b hatte ich ja auch raus! Nur hat es beim Beweis nicht mehr hingehauen!
Ich muss mich ja auch auf mein [mm] K_{B_{2}} [/mm] beziehen... und da habe ich in der 3. Spalte ja 3a+b. Würde das bedeuten, dass dann daraus [mm] 9a-2b^{2} [/mm] werden würde? Aber das kommt ja mit dem Beweis dann überhaupt nicht mehr hin!
Also mal kurz so weit wie ich bin (bei [mm] K_{B_{2}}):
[/mm]
Für i=1 habe ich (a+b+c) raus. Bei [mm] K_{B_{2}} [/mm] steht aber in der ersten Zeile d. Also würde dort dann 0 herauskommen, denn ich habe ja kein d in meiner errechneten Lösung.
Für i=2 habe ich (3a+2b). Bei [mm] K_{B_{2}} [/mm] habe ich in der 2. Zeile (a+b+c) zu stehen. Wie setze ich das dort hinein? Wird daraus dann 3a+2b+c? Nur haut das dann wieder mit dem Beweis nicht hin. Allerdings kann ich das nicht genau sagen, da ich ja i=3 noch nicht habe und ich nicht weiß, was sich da dann noch weg kürzt!
Wenn ich für i=3 -2b herausbekomme und das dann in [mm] K_{B_{2}} [/mm] einsetze, erhalte ich auch Deine Lösung, die Du oben angegeben hast. Wie schon erwähnt.
i=4 hat sich ja diesmal nicht gleich von Anfang an erledigt, da ich ja diesmal im 4. Basiselement auch ein [mm] x^{2} [/mm] und ein x habe.
Also muss ich das noch ausrechnen und vielleicht haut es ja dann doch hin!
Aber soweit waren [mm] i_{1} [/mm] bis [mm] i_{3} [/mm] erstmal richtig?
Und jetzt guck ich mal was ich dann bei i=4 herausbekomme!
Und dann kannst Du davon ausgehen: ich werd Dich damit nochmal nerven ;) :D
Die Frauen... :)
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Hallo lexjou,
> hm... oh Moment... das dauert jetzt in der Verarbeitung in
> meinem Kopf ;)
>
> Aber nochmal kurz zurück zur Darstellungsmatrix von der
> ersten Basis:
>
> Du hattest ja geschrieben, dass die Matrix folgendermaßen
> aussieht:
>
> [mm]\vektor{a+b+c \\ 3a+2b \\ 3a \\ 0}[/mm]
>
> Das heißt also, die "komplette" Darstellungsmatrix - die
> ja 4 Spalten haben muss - sehe dann so aus: (?)
>
> [mm]\pmat{ a+b+c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3a+2b & 0 & 0 \\ 0& 0 & 3a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Ist das richtig?
Leider nicht.
Schreib das mal so:
[mm]\vektor{a+b+c \\ 3a+2b \\ 3a \\ 0}=a*\pmat{1 \\ 3 \\ 3 \\ 0}+b*\pmat{1 \\ 2 \\ 0 \\ 0}+c*\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+d*\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Damit sind die Vektoren auf der rechten Seite
gerade die Spalten der Darstellungsmatrix.
>
> So... und nun nochmal zu dem was Du eben geschrieben hast:
>
> 3a-2b hatte ich ja auch raus! Nur hat es beim Beweis nicht
> mehr hingehauen!
> Ich muss mich ja auch auf mein [mm]K_{B_{2}}[/mm] beziehen... und
> da habe ich in der 3. Spalte ja 3a+b. Würde das bedeuten,
> dass dann daraus [mm]9a-2b^{2}[/mm] werden würde? Aber das kommt ja
Nein, das bedeutet es nicht.
> mit dem Beweis dann überhaupt nicht mehr hin!
>
> Also mal kurz so weit wie ich bin (bei [mm]K_{B_{2}}):[/mm]
>
> Für i=1 habe ich (a+b+c) raus. Bei [mm]K_{B_{2}}[/mm] steht aber in
> der ersten Zeile d. Also würde dort dann 0 herauskommen,
> denn ich habe ja kein d in meiner errechneten Lösung.
>
> Für i=2 habe ich (3a+2b). Bei [mm]K_{B_{2}}[/mm] habe ich in der 2.
> Zeile (a+b+c) zu stehen. Wie setze ich das dort hinein?
> Wird daraus dann 3a+2b+c? Nur haut das dann wieder mit dem
> Beweis nicht hin. Allerdings kann ich das nicht genau
> sagen, da ich ja i=3 noch nicht habe und ich nicht weiß,
> was sich da dann noch weg kürzt!
>
> Wenn ich für i=3 -2b herausbekomme und das dann in
> [mm]K_{B_{2}}[/mm] einsetze, erhalte ich auch Deine Lösung, die Du
> oben angegeben hast. Wie schon erwähnt.
>
> i=4 hat sich ja diesmal nicht gleich von Anfang an
> erledigt, da ich ja diesmal im 4. Basiselement auch ein
> [mm]x^{2}[/mm] und ein x habe.
> Also muss ich das noch ausrechnen und vielleicht haut es
> ja dann doch hin!
>
> Aber soweit waren [mm]i_{1}[/mm] bis [mm]i_{3}[/mm] erstmal richtig?
Ich glaube Du bringst hier etwas durcheinander.
Du schreibt von [mm]B_{2}[/mm], gibst aber die Koeffizienten bezüglich [mm]B_{1}[/mm] an.
>
> Und jetzt guck ich mal was ich dann bei i=4 herausbekomme!
>
> Und dann kannst Du davon ausgehen: ich werd Dich damit
> nochmal nerven ;) :D
> Die Frauen... :)
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Ich glaube Du bringst hier etwas durcheinander.
Du schreibt von $ [mm] B_{2} [/mm] $, gibst aber die Koeffizienten bezüglich $ [mm] B_{1} [/mm] $ an.
Oh Gott das glaube ich auch!!!!
Also: [mm] B_{2}={1, x, x^{2}-x, x^{3}-3x^{2}+2x}
[/mm]
Und jetzt BITTE noch mal für mich ganz langsam: für i=1 gilt ja das Gleiche wie für [mm] K_{B_{1}}, [/mm] da dort auch das erste Basiselement 1 ist. Aber ich habe bei [mm] K_{B_{2}} [/mm] in der ersten Zeile d zu stehen! Bekomme aber (a+b+c) heraus. Also ist [mm] K_{B_{2}}(a+b+c) [/mm] für i=1 was genau?? Wenn dort ein d steht... ich aber (a+b+c) habe, dann kann ich doch nur 0 hinschreiben, oder?
Und das Gleiche Problem hab ich bei i=2. Also Lösung habe ich (3a+2b). So. Nun habe ich bei [mm] K_{B_{2}}(3a+2b) [/mm] für i=2 aber in [mm] K_{B_{2}} [/mm] "a+b+c". Wie bringe ich das zusammen??
Oder habe ich jetzt schon wieder was verwechselt??
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Hallo lexjou,
> Ich glaube Du bringst hier etwas durcheinander.
>
> Du schreibt von [mm]B_{2} [/mm], gibst aber die Koeffizienten
> bezüglich [mm]B_{1}[/mm] an.
>
> Oh Gott das glaube ich auch!!!!
>
> Also: [mm]B_{2}={1, x, x^{2}-x, x^{3}-3x^{2}+2x}[/mm]
>
> Und jetzt BITTE noch mal für mich ganz langsam: für i=1
> gilt ja das Gleiche wie für [mm]K_{B_{1}},[/mm] da dort auch das
> erste Basiselement 1 ist. Aber ich habe bei [mm]K_{B_{2}}[/mm] in
> der ersten Zeile d zu stehen! Bekomme aber (a+b+c) heraus.
> Also ist [mm]K_{B_{2}}(a+b+c)[/mm] für i=1 was genau?? Wenn dort
> ein d steht... ich aber (a+b+c) habe, dann kann ich doch
> nur 0 hinschreiben, oder?
>
> Und das Gleiche Problem hab ich bei i=2. Also Lösung habe
> ich (3a+2b). So. Nun habe ich bei [mm]K_{B_{2}}(3a+2b)[/mm] für i=2
> aber in [mm]K_{B_{2}}[/mm] "a+b+c". Wie bringe ich das zusammen??
>
> Oder habe ich jetzt schon wieder was verwechselt??
Nun, [mm]K_{B_{1}}[/mm] bzw. [mm]K_{B_{2}}[/mm] hast Du doch schon im Aufgabenteil i) ermittelt.
Gemeint sind wohl [mm]\blue{D}_{B_{1}}[/mm] bzw. [mm]\blue{D}_{B_{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
ACH JETZT!!! Ja !!!! oh Gott wie peinlich!!!!
Na klar!!!
Das war weil ich vorher die Transformationsmatrix bilden sollte und deshalb dachte, ich soll das gleiche nochmal mit der Transformationsmatrix selbst machen!
Klar... ich soll eigentlich das Gleiche machen wie in (i)!
Das ist wie damals in der Schule... wenn man vor musste an die Tafel. Wenn man so nah davor steht, hat man die auffälligsten Fehler nicht gesehen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Ach meinst Du:
[mm] D(x^{2}-x)=((x+1)^{2}-(x+1)))-(x^{2}-x)
[/mm]
[mm] D(x^{2}-x)=2x+2
[/mm]
heißt:
D(2x+x)=(3a+2b)2x+2(a+b+c)=(6a+4b)x+(2a+2b+2c)
also ist [mm] K_{b_{2}}((6a+4b)x+(2a+2b+2c))=... [/mm] ja... hier weiß ich nicht so ganz weiter... in der dritten Zeile von [mm] K_{b_{2}} [/mm] steht ja 3a+b.
Wie verfahre ich hier weiter?
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Hallo lexjou,
> Ach meinst Du:
>
> [mm]D(x^{2}-x)=((x+1)^{2}-(x+1)))-(x^{2}-x)[/mm]
> [mm]D(x^{2}-x)=2x+2[/mm]
Hier hast Du Dich verrechnet: [mm]D(x^{2}-x)=2x+2[/mm]
>
> heißt:
>
> D(2x+x)=(3a+2b)2x+2(a+b+c)=(6a+4b)x+(2a+2b+2c)
>
> also ist [mm]K_{b_{2}}((6a+4b)x+(2a+2b+2c))=...[/mm] ja... hier
> weiß ich nicht so ganz weiter... in der dritten Zeile von
> [mm]K_{b_{2}}[/mm] steht ja 3a+b.
>
> Wie verfahre ich hier weiter?
Gegenfrage:Warum bildest Du auf D(2x+x)?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Ganz ehrlich??
Ich habe KEINE AHNUNG mehr was ich grad mache (und irgendwie dabei ein Schmunzeln im Gesicht...)
Ich glaub jetzt ist grad völlig vorbei bei mir!!
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Hallo lexjou,
> Ganz ehrlich??
>
> Ich habe KEINE AHNUNG mehr was ich grad mache (und
> irgendwie dabei ein Schmunzeln im Gesicht...)
>
> Ich glaub jetzt ist grad völlig vorbei bei mir!!
>
Dann mach mal eine Pause.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:52 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Siehe Mail ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:56 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Könnte vielleicht jemand nochmal kurz drüber schauen ob die Ergebnisse hinkommen? Bin mir mit [mm] K_{B_{1}}^{-1} [/mm] noch unsicher... und wenn das nicht stimmt, dann stimmt ja auch die Transformationsmatrix nicht...
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Hallo lexjou,
> Könnte vielleicht jemand nochmal kurz drüber schauen ob
> die Ergebnisse hinkommen? Bin mir mit [mm]K_{B_{1}}^{-1}[/mm] noch
> unsicher... und wenn das nicht stimmt, dann stimmt ja auch
> die Transformationsmatrix nicht...
Hier muss es doch lauten:
[mm]K_{B_{2}}(hx^{3}+gx^{2}+fx+e)=\vmat{ e \\ h+g+f \\ 3h+g \\ h }=\vmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 } \vmat{ \blue{h} \\\blue{f} \\ \blue{g} \\ \blue{e} }[/mm]
Wenn Du die Reihenfolge des Vektors von oben: e-f-g-h haben willst,
dann ist die Transformationmatrix gerade
[mm]K_{B_{2}}(hx^{3}+gx^{2}+fx+e)=\vmat{ e \\ h+g+f \\ 3h+g \\ h }=\vmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } \vmat{ e \\ f \\ g \\ h }[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Also ist meine Variante falsch? Oder einfach nur eine andere Schreibweise?
>Hier muss es doch lauten:
>
>$ [mm] K_{B_{2}}(hx^{3}+gx^{2}+fx+e)=\vmat{ e \\ h+g+f \\ 3h+g \\ h }=\vmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 } \vmat{ \blue{h} \\\blue{f} \\ \blue{g} \\ \blue{e} } [/mm] $
Ist das tatsächlich so in dieser Reinfolge? Also ich meine die rechte Seite? h-f-g-e?? Oder hast Du Dich da verschrieben?
Weil f hatte ja 3-1-0-0 und Du hast jetzt bei f 1-1-1-0 geschrieben...
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Hallo lexjou,
> Also ist meine Variante falsch? Oder einfach nur eine
> andere Schreibweise?
Nun, die angegebene Matrix passt nicht zum Vektor und umgekehrt.
>
> >Hier muss es doch lauten:
> >
> >[mm] K_{B_{2}}(hx^{3}+gx^{2}+fx+e)=\vmat{ e \\ h+g+f \\ 3h+g \\ h }=\vmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 } \vmat{ \blue{h} \\\blue{f} \\ \blue{g} \\ \blue{e} }[/mm]
>
>
>
> Ist das tatsächlich so in dieser Reinfolge? Also ich meine
> die rechte Seite? h-f-g-e?? Oder hast Du Dich da
> verschrieben?
Da habe ich mich verschrieben:
[mm] K_{B_{2}}(hx^{3}+gx^{2}+fx+e)=\vmat{ e \\ h+g+f \\ 3h+g \\ h }=\vmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 } \vmat{ \blue{h} \\\green{g} \\ \green{f} \\ \blue{e} }[/mm]
>
> Weil f hatte ja 3-1-0-0 und Du hast jetzt bei f 1-1-1-0
> geschrieben...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Das mit dem verschriebenen habe ich mir schon gedacht. Wollte nur sicher gehen!
Ja.. deshalb hab ich auch nochmal diese Frage gepostet...
Also ist mein [mm] K_{B_{1}}^{-1} [/mm] falsch herum?
Quasi er muss genau die umgekehrte Reinhfolge haben, richtig?
Oder bezog sich Deine Antwort eben nur auf die Transformationsmatrix? Dass DIE falsch herum ist?
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Hallo lexjou,
> Das mit dem verschriebenen habe ich mir schon gedacht.
> Wollte nur sicher gehen!
>
> Ja.. deshalb hab ich auch nochmal diese Frage gepostet...
>
> Also ist mein [mm]K_{B_{1}}^{-1}[/mm] falsch herum?
Nein, [mm]K_{B_{1}}^{-1}[/mm] ist schon richtig.
Es geht hier um
[mm]K_{B_{2}}(hx^{3}+gx^{2}+fx+e)=\vmat{ e \\ h+g+f \\ 3h+g \\ h }[/mm]
Die dann folgende Matrix-Vektor-Schreibweise
[mm]\vmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 } \vmat{ e \\ f \\ g \\ h }[/mm]
ist falsch.
Multipliziere dies mal aus, dann siehst Du das etwas nicht stimmt.
>
> Quasi er muss genau die umgekehrte Reinhfolge haben,
> richtig?
>
> Oder bezog sich Deine Antwort eben nur auf die
> Transformationsmatrix? Dass DIE falsch herum ist?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Ach jetzt versteh ich was Du meinst!
Es kam mir schon etwas komisch vor dass die "Diagonale" - so nenn ich es jetzt mal - anders herum ist. Also zum Beispiel bei der NZSF ist ja auch immer oben links der erste Eintrag und und rechts der letzte Eintrag. Total bekloppt formuliert... ich weiß :)
Also tausche ich jetzt nochmal die Reinfolge und dann ist die TM richtig?
Quasi ist es ja dann nicht ganz so viel "Arbeit" wie ich erst dachte...
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Hallo lexjou,
> Ach jetzt versteh ich was Du meinst!
> Es kam mir schon etwas komisch vor dass die "Diagonale" -
> so nenn ich es jetzt mal - anders herum ist. Also zum
> Beispiel bei der NZSF ist ja auch immer oben links der
> erste Eintrag und und rechts der letzte Eintrag. Total
> bekloppt formuliert... ich weiß :)
>
> Also tausche ich jetzt nochmal die Reinfolge und dann ist
> die TM richtig?
Wenn der Vektor derselbe bleiben soll, dann musst Du die
Transformationsmatrix ändern.
> Quasi ist es ja dann nicht ganz so viel "Arbeit" wie ich
> erst dachte...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Aber wie ändere ich denn die TM, sodass der Vektor gleich bleibt?
Ist es denn mathematisch "falsch", so wie meine TM ist? Oder ist es nur, dass die TM dann nicht gerade ist?
Ich hab nicht so ganz verstanden wie Du das gemeint hast!
Du hattest ja geschrieben, wie die TM aussehen sollte. Aber damit ist doch automatisch der Vektor geändert, oder versteh ich was falsch?
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Hallo lexjou,
> Aber wie ändere ich denn die TM, sodass der Vektor gleich
> bleibt?
Nun, da musst Du die TM irgendwie spiegeln.
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> Ist es denn mathematisch "falsch", so wie meine TM ist?
> Oder ist es nur, dass die TM dann nicht gerade ist?
>
> Ich hab nicht so ganz verstanden wie Du das gemeint hast!
> Du hattest ja geschrieben, wie die TM aussehen sollte. Aber
> damit ist doch automatisch der Vektor geändert, oder
> versteh ich was falsch?
Ich habe geschrieben, wenn der Vektor derselbe sein soll,
dann muss sich die TM ändern.
Soll die TM dieselbe sein, dann muss der Vektor geändert werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Ich weiß... langsam nervt es... aber was meinst Du mit spiegeln?
Also ich versteh nicht, wie ich die TM ändern kann, ohne den Vektor zu ändern.
Meinst Du, ich soll sie transponieren? Also eine symmetrische Matrix dazu "erschaffen"?
Also die Zeilen und die Spalten vertauschen?
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Hallo lexjou,
> Ich weiß... langsam nervt es... aber was meinst Du mit
> spiegeln?
> Also ich versteh nicht, wie ich die TM ändern kann, ohne
> den Vektor zu ändern.
> Meinst Du, ich soll sie transponieren? Also eine
> symmetrische Matrix dazu "erschaffen"?
Nein.
>
> Also die Zeilen und die Spalten vertauschen?
Es sind hier nur Spalten zu vertauschen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Und jetzt wirklich meine letzte Frage :)
Das kann ich so einfach machen, ja? Also ohne dass es einen Vektor ändert oder sich irgendwas anderes ändert oder ich Probleme bekomme oder sonst was?
Ich tausche nur die Spalten, sodass ich im "unteren Dreieck" nur Nullen habe?
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Hallo lexjou,
> Und jetzt wirklich meine letzte Frage :)
>
> Das kann ich so einfach machen, ja? Also ohne dass es einen
> Vektor ändert oder sich irgendwas anderes ändert oder ich
> Probleme bekomme oder sonst was?
Ja.
>
> Ich tausche nur die Spalten, sodass ich im "unteren
> Dreieck" nur Nullen habe?
>
Auch das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 So 02.01.2011 | | Autor: | lexjou |
:) Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 10.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Ich habe heute erfahren, dass ich nur 2/10 Punkten in der Aufgabe bekommen habe. Ich habe deshalb meine Hausaufgabe mal angehangen!
Ich war mir eigentlich schon recht sicher, dass es richtig ist! Könnte mir jemand erklären, was hier derart falsch ist, dass ich nur 2 Punkte bekommen habe?
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Ich habe heute erfahren, dass ich nur 2/10 Punkten in der
> Aufgabe bekommen habe. Ich habe deshalb meine Hausaufgabe
> mal angehangen!
> Ich war mir eigentlich schon recht sicher, dass es richtig
> ist! Könnte mir jemand erklären, was hier derart falsch
> ist, dass ich nur 2 Punkte bekommen habe?
Hallo,
ich werde nicht in Einzelheiten auf das, was Du gerechnet hast, eingehen, das ist bei Scans ja sehr umständlich.
Ein paar Hinweise:
die beiden Darstellungsmatrizen, die im zweiten Aufgabenteil gefragt waren, sind grob falsch: es spuken in Deinen Matrizen Buchstaben herum, die dort absolut nichts zu suchen haben.
(Bei Dir ändern sich die Matrizen somit je nach abzubildendem Vektor, das kann ja nicht sein....)
Dieser Fehler berührt das Verständnis und geht über einen kleinen Rechenfehler weit hinaus. (Rechenfehler im eigentlichen Sinn hast Du nicht gemacht.)
Wenn ich es recht überblicke - Überblick ist aufgrund der Größe des Scans nicht leicht zu erlangen - so ist die Matrix für die Basistransformation von [mm] B_1 [/mm] nach [mm] B_2 [/mm] am Ende richtig.
Den Weg dorthin finde ich sehr langatmig, aber man muß ja nicht unbedingt für gute Unterhaltung der Korrektoren sorgen...
Du wolltest die Abbildungen [mm] K_{B_1} [/mm] und [mm] K_{B_2} [/mm] bestimmen.
(Dies ist für die Lösung der Aufgabe nicht unbedingt nötig)
Du schreibst dann irgendwo:
[mm] K_{B_1}=\vektor{d\\c\\b\\a}, [/mm] erzählst also, daß die Abbildung [mm] K_{B_1} [/mm] ein Vektor mit Buchstaben drin ist, wobei die Bedeutung der Buchstaben nicht weiter erklärt wird.
Meinen tust Du wohl eher sowas:
[mm] K_B_1:\IR_{\le 3}[x]\to \IR^4 [/mm] mit
[mm] K_{B_1}(ax^3+bx^2+cx+d):=\vektor{d\\c\\b\\a}.
[/mm]
Es kommt halt darauf an, wirklich zu schreiben, was man meint.
Wenn dies nicht geschieht, liegt dies leicht mal daran, daß man nicht ganz genau weiß, was man eigentlich meint.
Auf jeden Fall gibt's nur Punkte auf Richtiges und nicht auf richtig Gemeintes.
Hinweise zur zügigen Lösung der Aufgabe:
Die Tranformationsmatrix [mm] S_{B_2\to B_1}für [/mm] die Transformation von [mm] B_2 [/mm] nach [mm] B_1 [/mm] aufzustellen, ist sehr einfach:
in ihren Spalten stehen die Basisvektoren von [mm] B_2 [/mm] in Koordinaten bzgl. [mm] B_2.
[/mm]
Zum Verständnis: es ist z.B. [mm] x^2-x=\vektor{0\\-1\\1\\0}_{B_1}.
[/mm]
Die gesuchte Matrix [mm] S_{B_2\to B_1} [/mm] ist die Inverse dieser einfach aufzustellenden Matrix.
Sehr einfach aufzustellen ist auch mit dem Wissen, daß gilt
"In den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl B stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B",
die Matrix [mm] D_{B_1}:
[/mm]
man muß bloß D(1), D(x), [mm] D(x^2), D(x^3) [/mm] berechnen, als Koordinatenvektoren bzgl. [mm] B_1 [/mm] schreiben und diese Ergebnisse als Spalten in eine Matrix stellen.
Um [mm] D_{B_2} [/mm] zu bekommen, greift man dann sinnigerweise auf die Ergebnisse von Aufgabenteil i) zurück:
es ist [mm] D_{B_2}=S_{B_1\to B_2}*D_{B_1}*S_{B_2\to B_1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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