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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 26.04.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi Leute;
ich brauch bei folgender Aufgabe euren Rat
Zwei Dampfer haben beide die gleiche Anlegestelle zu benutzen. Sie gehen beide am gleichen Tag vor Anker, allerdings ist die Ankunftszeit unabhängig von einander und gleichwahrscheinlich im Laufe des Tages. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass einer der beiden Dampfer auf einen Anlegeplatz warten muss, wenn der erste Dampfer eine und der zweite Dampfer 2 stunden vor Anker geht? |
Ich vermute mann muss Formel aus der Gleichverteilung benutzen:
[mm] P(A)=\lambda^2(A\cap\ [/mm] E)/ [mm] \lambda^2(E)
[/mm]
Sei dazu [mm] \Omega [/mm] = [mm] IR^2 [/mm] und P die Gleichverteilung auf [mm] [0,2]^2. [/mm] Das Paar [mm] (x_A, x_B) [/mm] in\ [mm] \Omega [/mm] modelliere die jeweiligen Ankunftszeiten von Dampfer A und Dampfer B, wobei der erste Dampfer A mit 0 und der zweite Dampfer B mit 2 beschrieben ist. Das Ereignis C, dass sich beide treffen, ist durch die Menge [mm] C={x_A , X_B ||x_A - x_B|<1} [/mm] gegeben Sind D1 bzw. D2 die Dreiecke mit den Eckpunkte
(0,1); (1,2); (0,2) bzw. (1,0); (2,0); (2,1), so erhaelt man mit E = [mm] [0,2]^2
[/mm]
[mm] P(C)=\lambda^2 [/mm] (A [mm] \cap\ B)/\lambda^2 (B)=\lambda^2 [/mm] (B\ [mm] (D_1 \cup D_2))/\lambda^2 (B)=(\lambda^2 [/mm] (B) [mm] -(\lambda^2(D_1)+ \lambda^2(D_2)))/\lambda^2 [/mm] (B)= 4-(1/2+1/2)/4 =3/4
Kann man das so machen bzw. so richtig ?
beste grüße vom matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mo 26.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi Leute;
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> ich brauch bei folgender Aufgabe euren Rat
>
> Zwei Dampfer haben beide die gleiche Anlegestelle zu
> benutzen. Sie gehen beide am gleichen Tag vor Anker,
> allerdings ist die Ankunftszeit unabhängig von einander
> und gleichwahrscheinlich im Laufe des Tages. Wie groß ist
> nun die Wahrscheinlichkeit, dass einer der beiden Dampfer
> auf einen Anlegeplatz warten muss, wenn der erste Dampfer
> eine und der zweite Dampfer 2 stunden vor Anker geht?
> Ich vermute mann muss Formel aus der Gleichverteilung
> benutzen:
>
> [mm]P(A)=\lambda^2(A\cap\[/mm] E)/ [mm]\lambda^2(E)[/mm]
>
> Sei dazu [mm]\Omega[/mm] = [mm]IR^2[/mm] und P die Gleichverteilung auf
> [mm][0,2]^2.[/mm] Das Paar [mm](x_A, x_B)[/mm] in\ [mm]\Omega[/mm] modelliere die
> jeweiligen Ankunftszeiten von Dampfer A und Dampfer B,
> wobei der erste Dampfer A mit 0 und der zweite Dampfer B
> mit 2 beschrieben ist. Das Ereignis C, dass sich beide
> treffen, ist durch die Menge [mm]C={x_A , X_B ||x_A - x_B|<1}[/mm]
> gegeben Sind D1 bzw. D2 die Dreiecke mit den Eckpunkte
> (0,1); (1,2); (0,2) bzw. (1,0); (2,0); (2,1), so erhaelt
> man mit E = [mm][0,2]^2[/mm]
>
> [mm]P(C)=\lambda^2[/mm] (A [mm]\cap\ B)/\lambda^2 (B)=\lambda^2[/mm] (B\ [mm](D_1 \cup D_2))/\lambda^2 (B)=(\lambda^2[/mm]
> (B) [mm]-(\lambda^2(D_1)+ \lambda^2(D_2)))/\lambda^2[/mm] (B)=
> 4-(1/2+1/2)/4 =3/4
>
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> Kann man das so machen bzw. so richtig ?
Keine Ahnung. Ich würde es so machen:
Die Ankunftszeit des "2-Stunden-Anlegedampfers" ist über den Tag gleichverteilt. Es gibt eine Wartesituation, wenn der andere Dampfer zwischen 1 Stunde davor und zwei Stunden danach kommt.
Da dieses 3-Stunden-Fenster im 24-Stunden-Tag liegt, beträgt zu (fast) jedem Zeitpunkt des Tages die Wahrscheinlichkeit 3/24, dass gewartet werden muss.
Nur am Anfang und am Ende des Tages ändert sich das. Da beide am selben Kalendertag ankommen, kann bei einem 0 Uhr ankommenden Dampfer der andere nicht schon seit einigen Minuten da sein.
Die Wahrscheinlichkeit für eine Wartesituation steigt also von 0 bis 1 Uhr linear von 0 auf 3/24.
Wenn der "2-Stunden-Anlegedampfer" nach 22 Uhr ankommt, sinkt mit jeder Minute die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Dampfer das kleiner werdende Zeitfenster bis 24 Uhr erwischt.
Die Wahrscheinlichkeit nimmt also von 22 Uhr bis 24 Uhr linear von 3/24 auf 0 ab.
Den Flächeninhalt unter diesem Graphen musst du ins Verhältnis setzen zu einer konstanten Funktion, die 24 Stunden lang den Wert 1 hat.
Das ist meine (intuitive) Lösung, die Theorie dazu fehlt mir.
Gruß Abakus
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>
> beste grüße vom matheja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mo 26.04.2010 | | Autor: | matheja |
Hi Abaskus.
Danke für deine Anregungen.
Da mein Weg kein Feedback bekommen hat versuch mich an deinen Ansatz
beste grüße vom matheja
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