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Hi zusammen!
Wir haben in der Vorlesung das äußere Produkt definiert und dabei folgende Eigenschaft festgehalten:
[mm] f \in Alt^p(V), g \in Alt^k(V), : f \wedge g = (-1)^{pk}g \wedge f [/mm].
Insbesondere gilt: [mm] f \in Alt^p(V): f \wedge f = 0[/mm]
Aber die letzte Eigenschaft gilt doch nur für ungerade p oder ?
Denn nur dann gilt doch: [mm]f \in Alt^p(V): f \wedge f = (-1)^{p^2} f \wedge f \rightarrow f \wedge f = (-1) f \wedge f \rightarrow f \wedge f=0[/mm]
Gruß
Deuterinomium
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:33 So 23.09.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Deuterinomium
> Wir haben in der Vorlesung das äußere Produkt definiert und
> dabei folgende Eigenschaft festgehalten:
>
> [mm]f \in Alt^p(V), g \in Alt^k(V), : f \wedge g = (-1)^{pk}g \wedge f [/mm].
> Insbesondere gilt: [mm]f \in Alt^p(V): f \wedge f = 0[/mm]
>
> Aber die letzte Eigenschaft gilt doch nur für ungerade p
> oder ?
Sie folgt nur fuer ungerades $p$ aus der Eigenschaft davor, da hast du Recht (also ohne weiteres Wissen ueber $Alt(V)$ und [mm] $\wedge$). [/mm] Fuer gerades $p$ gilt sie jedoch auch, nur folgt das aus etwas anderem.
Und zwar aus der Definition des alternierenden Produktes: zur Definition von [mm] $Alt^p(V)$ [/mm] nimmt man ja das $p$-fache Tensorprodukt von $V$ mit sich selbst und faktorisiert alle Produkte raus, in denen ein Faktor doppelt vorkommt. Wenn also $f$ von der Form [mm] $v_1 \wedge \dots \wedge v_p$ [/mm] ist, dann ist $f [mm] \wedge [/mm] f = [mm] v_1 \wedge \dots \wedge v_p \wedge v_1 \wedge \dots \wedge v_p [/mm] = [mm] (-1)^{p-1} v_1 \wedge v_1 \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_p \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_p [/mm] = 0$. Und ist $f = [mm] \sum_{i=1}^k f_i$ [/mm] mit [mm] $f_i \wedge f_i [/mm] = 0$, so ist $f [mm] \wedge [/mm] f = [mm] \sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p f_i \wedge f_j [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^p f_i \wedge f_i [/mm] + [mm] \sum_{1 \le i < j \le k} (f_i \wedge f_j [/mm] + [mm] f_j \wedge f_i) [/mm] = 0$. Da jedes Element aus [mm] $Alt^p(V)$ [/mm] von der Form $f = [mm] \sum_{i=1}^k v_{i1} \wedge \dots \wedge v_{ip}$ [/mm] ist, folgt somit $f [mm] \wedge [/mm] f = 0$.
LG Felix
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Danke!
Ist klar geworden!
Gruß
Deuterinomium
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:54 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also für gerades p gibt es auf ![[]](/images/popup.gif) Mathworld ein Gegenbeispiel, also wo [mm]f \wedge f \not= 0[/mm] ist.
edit: Ich glaub ich hab deinen Fehler im Beweis gefunden. Und zwar im folgenden Schritt:
[mm]\sum_{i=1}^p f_i \wedge f_i + \sum_{1 \le i < j \le k} (f_i \wedge f_j + f_j \wedge f_i) = 0[/mm]
Wieso ist das dann Null? [mm]f_i \wedge f_j + f_j \wedge f_i[/mm] hebt sich im Falle i,j beide gerade nicht zu Null auf, sondern addiert sich einfach (so wie es bei dem Beispiel auf Mathworld der Fall ist).
Es bleibt also [mm]\sum_{1 \le i < j \le k} 2(f_i \wedge f_j)[/mm] übrig.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:31 Mi 03.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also für gerades p gibt es auf
> Mathworld
> ein Gegenbeispiel, also wo [mm]f \wedge f \not= 0[/mm] ist.
Oh, ja, da hast du Recht! Vielen Dank fuer den Hinweis!
> edit: Ich glaub ich hab deinen Fehler im Beweis gefunden.
> Und zwar im folgenden Schritt:
>
> [mm]\sum_{i=1}^p f_i \wedge f_i + \sum_{1 \le i < j \le k} (f_i \wedge f_j + f_j \wedge f_i) = 0[/mm]
>
> Wieso ist das dann Null? [mm]f_i \wedge f_j + f_j \wedge f_i[/mm]
> hebt sich im Falle i,j beide gerade nicht zu Null auf,
> sondern addiert sich einfach (so wie es bei dem Beispiel
> auf Mathworld der Fall ist).
Ich bin einfach von [mm] $f_i \wedge f_j [/mm] = [mm] -f_j \wedge f_i$ [/mm] ausgegangen, und nicht von [mm] $f_i \wedge f_j [/mm] = [mm] (-1)^{\deg f_i \cdot \deg \f_j} f_j \wedge f_i$...
[/mm]
> Es bleibt also [mm]\sum_{1 \le i < j \le k} 2(f_i \wedge f_j)[/mm]
> übrig.
Nicht ganz: es bleibt [mm]\sum_{1 \le i < j \le k \atop \deg f_i \cdot \deg f_j \text{ gerade}} 2(f_i \wedge f_j)[/mm] uebrig :)
LG Felix
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