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Forum "Integrationstheorie" - DRINGEND fürs Examen: Integral
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DRINGEND fürs Examen: Integral: Frage nach Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mi 22.08.2007
Autor: tb1804

Aufgabe
Es ist [mm] K_n=\{x \in \IR^n: |x|<1\} [/mm] .
a) für welche a>0 existiert [mm] \integral_{K_n}{\frac{d^{n}x}{{(1-|x|^2})^a}}? [/mm]
b) Berechnen Sie für diese Werte a den Wert des Integrals!

Hallo zusammen!

Die obige Aufgabe ist eine Aufgabe aus der Staatsexamensklausur des letzten Semesters. Ich schreibe in eine Woche und brauche dringend eine Idee zur Lösung. Wir grübeln nun schon seit einigen Tagen über der Aufgabe, kommen aber nicht auf den richtigen Schritt.
Offenbar ist, dass der Betrag, bzw. die Norm, im Nenner durch das Quadrat aufgehoben wird.
Für die Existenz müsste man doch "lediglich" zeigen, dass das Integral über den Betrag des Integranden endlich ist. Und da kommt vermutlich das a ins Spiel.
Da es sich jedoch um eine Klausuraufgabe handelt, kann die Lösung sooo schwer nun eigentlich nicht sein!?

Jungs und Mädels, über jede Antwort sind wir unendlich dankbar!
Hoffe bald etwas lesen zu dürfen!!!

Vielen Dank und Grüße,

Tom

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
DRINGEND fürs Examen: Integral: Polarkoordinaten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Mi 22.08.2007
Autor: rainerS

Hallo Tom!

> Es ist [mm]K_n=\{x \in \IR^n: |x|<1\}[/mm] .
>  a) für welche a>0 existiert
> [mm]\integral_{K_n}{\frac{d^{n}x}{{(1-|x|^2})^a}}?[/mm]
>  b) Berechnen Sie für diese Werte a den Wert des
> Integrals!

Wie wäre es, das Integral in []n-dimensionalen Polarkoordinaten auszurechnen? Da ist [mm]r=|x|[/mm], der Integrand hängt nur von diesem r ab.

Das n-dimensionale Volumenelement ist [mm]\Phi(\text{alle Winkel}) d(\text{alle Winkel})\* r^{n-1} dr[/mm], wobei [mm]\Phi[/mm] nur von der Richtung von x abhängt (analog [mm]\sin\theta r^2 dr[/mm] in drei Dimensionen).

Dann ist [mm]\integral_{K_n}{\frac{d^{n}x}{{(1-|x|^2})^a}} = \integral_{\text{alle Winkel}} \Phi d(\text{alle Winkel}) * \integral_0^1 \bruch{r^{n-1}}{(1-r^2)^a} dr [/mm].

Das Integral über die Winkel ist eine endliche Größe, nämlich gerade die (n-1)-dimensionale Oberfläche der n-dimensionalen Einheitskugel. Das kann man mit etwas Mühe ausrechnen oder []nachschauen. Jetzt müsst ihr noch die Existenz des einfachen Integrals
[mm]\integral_0^1 \bruch{r^{n-1}}{(1-r^2)^a} dr [/mm]
untersuchen, das für [mm]a\geq 1[/mm] divergiert.

Grüße
   Rainer


Bezug
                
Bezug
DRINGEND fürs Examen: Integral: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:03 Mo 27.08.2007
Autor: deibansi

Hallo Rainer,

das sieht soweit gut aus, kann ich einigermaßen nachvollziehen.
Wie untersuche ich jetzt die Existenz des einfachen Integrals (welches ja nun nur noch über r läuft)?

Nach einem Hinweis soll ich nicht a gegen unendlich oder a=1/n setzen, da a gegebene reelle Zahl ist. Eine geeignete Abschätzung soll weiter helfen.

und:
b) Berechnung des Integrals, also in Abhängigkeit von a?

Diana
Bezug
                        
Bezug
DRINGEND fürs Examen: Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mo 27.08.2007
Autor: Hund

Hallo,

du musst a als Konstante ansehen, und dann versuchen das uneigentliche Integral abzuschätzten. So kannst du z.B. für negative a sicher sein, dass das Integral konvergiert, da du dann eine stetige Funktion auf [0,1] hast. Jetzt kannst du weitere a untersuchen.

Ich hoffe, es hat dir geholfen.

Gruß
Hund
Bezug
                        
Bezug
DRINGEND fürs Examen: Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Di 28.08.2007
Autor: rainerS

Hallo Diana,

> das sieht soweit gut aus, kann ich einigermaßen nachvollziehen.
> Wie untersuche ich jetzt die Existenz des einfachen
> Integrals (welches ja nun nur noch über r läuft)?

Ich würde es mit partieller Integration versuchen: für [mm]a\not=1[/mm] ist
[mm]\integral \frac{r^{n-1}}{(1-r^2)^a} dr = \integral r^{n-2} \left(r(1-r^2)^{-a}\right) dr = r^{n-2} \frac{1}{2(1-a)} (1-r^2)^{1-a} -\frac{n-2}{2(1-a)} \integral r^{n-3} (1-r^2)^{1-a} dr[/mm].
Der erste Term mit [mm](1-r^2)^{1-a}[/mm] ist der mit dem kleinsten Exponenten bei [mm](1-r^2)[/mm], und er divergiert bei r=1 für [mm]a>1[/mm], daher existiert das Integral für [mm]a>1[/mm] nicht.

Die partielle Integration kannst du für das Integral ganz rechts wiederholen. Ist n gerade, so bist du nach n/2 Schritten fertig. Ist n ungerade, bleibt das Integral
[mm]\integral (1-r^2)^{b} dr [/mm] ([mm]b=(n-1)/2-a[/mm]) übrig.

Den Fall a=1 überlasse ich dir ;-)

Alternativ kann man das Ausgangsintegral [mm]\integral_0^1 \frac{r^{n-1}}{(1-r^2)^a} dr[/mm] mit der Substitution [mm]t=r^2[/mm] auf die Form
[mm]B(x,y) = \integral_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt[/mm] bringen, das ist []bekannt.

> Nach einem Hinweis soll ich nicht a gegen unendlich oder
> a=1/n setzen, da a gegebene reelle Zahl ist. Eine geeignete
> Abschätzung soll weiter helfen.

Außer der Betrachtung oben fällt mir im Moment nix ein [kopfkratz]

Rainer
Bezug
                        
Bezug
DRINGEND fürs Examen: Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Do 30.08.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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