www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DG 2. Ordnung
DG 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

DG 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Fr 22.01.2010
Autor: andi7987

Aufgabe
Beispiel:

y'' + 3y' + 2y = [mm] 4*e^{2*x} [/mm]

y(0) = - 3
y'(0) = 5

So ich habe jetzt folgendes gemacht:

1. Schritt:

[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 3*\lambda [/mm] + 2 = 0

[mm] \lambda [/mm] 1;2 = [mm] \bruch{+3 +- 1}{2} [/mm]

[mm] \lambda1 [/mm] = 2
[mm] \lambda2 [/mm] = 1

Lösung: yh = [mm] c1*e^{x} [/mm] + c2 [mm] *e^{2x} [/mm]

2. Schritt:
[mm] 4*e^{2x} [/mm] = 0

yp = [mm] A*x*e^{2x} [/mm]
y'p = (2Ax + A) * [mm] e^{2x} [/mm]
y''p = 4A * (x + 1) * [mm] e^{2x} [/mm]

= [mm] 4Ae^{2x} [/mm] * (x + 1) - 3 * [mm] e^{2x} [/mm] * (2 Ax + A) + 2 * [mm] (Axe^{2x} [/mm] = 4 [mm] e^{2x} [/mm]

Jetzt hab ich es noch ausmultipliziert:

[mm] 4Axe^{2x} [/mm] + [mm] 4Ae^{2x} [/mm] - [mm] 6Axe^{2x} [/mm] - [mm] 3Ae^{2x} [/mm] + [mm] 2Axe^{2x} [/mm] = [mm] 4e^{2x} [/mm]

Dann kann ich die [mm] e^{2x} [/mm] kürzen:

4Ax + 4A - 6Ax - 3A + 2Ax = 4

Dann kürzen sich schon mal alle mit x raus.

Übrig bleibt:

1A = 4

Lösung: A = 4

Das dann oben eingesetzt:

4 [mm] e^{2x} [/mm]


3. Schritt: Zusammenführen von y = yh + yp

y = c1 * [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{2x} [/mm] + 4 [mm] e^{2x} [/mm]

4. Schritt: Die Randbedingungen ansehen bezüglich Errechnung von c1 und c2!

1. Bedingung: y(0) = -3

-3 = c1 + c2

Lösung: c1 = -3 - c2

2. Bedingung: y'(0) = 5

y'h = 2 * (c2 + 4) * [mm] e^{2x} [/mm] + c1 * [mm] e^{x} [/mm]

5 = 2c2 + 8 + c1

5 = 2c2 + 8 + (-3 - c2)

Lösung: c2 = -5
Lösung: c1 = 2


Endlösung: y = 2 [mm] e^{x} [/mm] - [mm] 5e^{2x} [/mm] + 4 [mm] e^{2x} [/mm]

Ist das richtig?
        
Bezug
DG 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:11 Fr 22.01.2010
Autor: Herby

Hi,

> Beispiel:
>  
> y'' + 3y' + 2y = [mm]4*e^{2*x}[/mm]
>  
> y(0) = - 3
>  y'(0) = 5
>  So ich habe jetzt folgendes gemacht:
>  
> 1. Schritt:
>  
> [mm]\lambda^{2}[/mm] [mm] \red{-}[/mm]  [mm]3*\lambda[/mm] + 2 = 0


oben in der DGL steht ein + und hier ein -

Was ist richtig?


LG
Herby
Bezug
        
Bezug
DG 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Fr 22.01.2010
Autor: Herby

Hi,

> Beispiel:
>  
> y'' + 3y' + 2y = [mm]4*e^{2*x}[/mm]
>  
> y(0) = - 3
>  y'(0) = 5
>  So ich habe jetzt folgendes gemacht:
>  
> 1. Schritt:
>  
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]3*\lambda[/mm] + 2 = 0
>  
> [mm]\lambda[/mm] 1;2 = [mm]\bruch{+3 +- 1}{2}[/mm]
>  
> [mm]\lambda1[/mm] = 2
>  [mm]\lambda2[/mm] = 1
>  
> Lösung: yh = [mm]c1*e^{x}[/mm] + c2 [mm]*e^{2x}[/mm]
>  
> 2. Schritt:
>   [mm]4*e^{2x}[/mm] = 0
>  
> yp = [mm]A*x*e^{2x}[/mm]
>  y'p = (2Ax + A) * [mm]e^{2x}[/mm]
>  y''p = 4A * (x + 1) * [mm]e^{2x}[/mm]
>  
> = [mm]4Ae^{2x}[/mm] * (x + 1) - 3 * [mm]e^{2x}[/mm] * (2 Ax + A) + 2 *
> [mm](Axe^{2x}[/mm] = 4 [mm]e^{2x}[/mm]
>  
> Jetzt hab ich es noch ausmultipliziert:
>  
> [mm]4Axe^{2x}[/mm] + [mm]4Ae^{2x}[/mm] - [mm]6Axe^{2x}[/mm] - [mm]3Ae^{2x}[/mm] + [mm]2Axe^{2x}[/mm] =
> [mm]4e^{2x}[/mm]
>  
> Dann kann ich die [mm]e^{2x}[/mm] kürzen:
>  
> 4Ax + 4A - 6Ax - 3A + 2Ax = 4
>  
> Dann kürzen sich schon mal alle mit x raus.
>  
> Übrig bleibt:
>  
> 1A = 4
>  
> Lösung: A = 4

[daumenhoch]  das stimmt bis hier

  
> Das dann oben eingesetzt:
>  
> 4 [mm]e^{2x}[/mm]
>  
>
> 3. Schritt: Zusammenführen von y = yh + yp
>  
> y = c1 * [mm]e^{x}[/mm] + [mm]e^{2x}[/mm] + 4 [mm]e^{2x}[/mm]
>  
> 4. Schritt: Die Randbedingungen ansehen bezüglich
> Errechnung von c1 und c2!
>  
> 1. Bedingung: y(0) = -3
>  
> -3 = c1 + c2

nein,  [mm] -3=C_1*e^{1*0}+C_2*e^{2*0}+\red{4}*e^{2*0}=C_1+C_2+\red{4} [/mm]


Damit stimmt der Rest auch nicht, aber das Prinzip ist richtig.


Lg
Herby


PS: bitte keine "Endlösungen" hier im Forum anbieten, gelle [grins]
Bezug
                
Bezug
DG 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Fr 22.01.2010
Autor: andi7987

Sorry, in der Angabe ist minus!

y'' - 3y' + 2y = 0

Endlösung war es ja doch wieder keine! :-( :-)

So jetzt nochmals zum Schluß: :-)

y(0) = -3

y = c1 * [mm] e^{x} [/mm] + c2 * [mm] e^{2x} [/mm] + [mm] 4e^{2x} [/mm]

-3 = c1 * [mm] e^{0} [/mm] + c2 * [mm] e^{2*0} [/mm] + 4 * [mm] e^{2*0} [/mm]

-3 = c1 + c2 + 4

-7 = c1 + c2

c1 = -c2 - 7


Dann 2 Ableitung:

y'h = 2 * (c2 + 4) * [mm] e^{2x} [/mm] + c1 * [mm] e^{x} [/mm]

y'(0) = 5

5 = 2 [mm] e^{2*0} [/mm] c2 + 8 [mm] e^{2*0} [/mm] + c1 * [mm] e^{0} [/mm]

5 = 2 c2 + 8 + c1

5 = 2c2 + 8 + (-c2 - 7)

5 = 2 c2 + 8 - c2 - 7

5 = c2 + 1

c2 = 4


c1 = -c2 - 7

c1 = -4 - 7

c1 = -11

Kann des jetzt passen, oder habe ich schon wieder wo einen Stiefel zusammengerechnet?
Bezug
                        
Bezug
DG 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Fr 22.01.2010
Autor: Herby

Hi,

> Sorry, in der Angabe ist minus!
>  
> y'' - 3y' + 2y = 0
>  
> Endlösung war es ja doch wieder keine! :-( :-)
>  
> So jetzt nochmals zum Schluß: :-)
>  
> y(0) = -3
>  
> y = c1 * [mm]e^{x}[/mm] + c2 * [mm]e^{2x}[/mm] + [mm]4e^{2x}[/mm]
>  
> -3 = c1 * [mm]e^{0}[/mm] + c2 * [mm]e^{2*0}[/mm] + 4 * [mm]e^{2*0}[/mm]
>  
> -3 = c1 + c2 + 4
>
> -7 = c1 + c2
>  
> c1 = -c2 - 7
>  
>
> Dann 2 Ableitung:
>  
> y'h = 2 * (c2 + 4) * [mm]e^{2x}[/mm] + c1 * [mm]e^{x}[/mm]
>  
> y'(0) = 5
>  
> 5 = 2 [mm]e^{2*0}[/mm] c2 + 8 [mm]e^{2*0}[/mm] + c1 * [mm]e^{0}[/mm]
>  
> 5 = 2 c2 + 8 + c1
>  
> 5 = 2c2 + 8 + (-c2 - 7)
>  
> 5 = 2 c2 + 8 - c2 - 7
>  
> 5 = c2 + 1
>  
> c2 = 4
>  
>
> c1 = -c2 - 7
>  
> c1 = -4 - 7
>  
> c1 = -11
>  
> Kann des jetzt passen, oder habe ich schon wieder wo einen
> Stiefel zusammengerechnet?  

[daumenhoch]  jetzt passt es


Lg
Herby

Bezug
                                
Bezug
DG 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Fr 22.01.2010
Autor: andi7987

Danke, danke! :-)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]