DG 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Löse folgende Differentialgleichung:
y'' + 2y' = [mm] x^{2} [/mm] - 2*x + 1 |
So ich habe folgende Lösung und möchte gerne wissen ob das richtig ist?
1. homogene Teil:
y'' + 2y' = 0
[mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda*(\lambda [/mm] + 2) = 0
Lösungen:
[mm] \lambda1 [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] = - 2
yh = c1 + c2 * [mm] e^{-2x}
[/mm]
2. partikuläre Teil:
[mm] x^{2} [/mm] - 2x + 1 = 0
Hier kommt laut Formelbuch meiner Meinung nach folgender Ansatz zum Tragen!
[mm] \lambda1 [/mm] = 0; [mm] \lambda \not= [/mm] 0
yp = x * [mm] (ax^{2} [/mm] + bx + c)
Das ganze jetzt 2 mal ableiten:
y'p = [mm] 3ax^{2} [/mm] + 2bx + c
y''p = 6ax + 2b
Dann das in die Ausgangsgleichung einsetzen!
6ax + 2b + 2 * [mm] (3ax^{2} [/mm] + 2bx + c) = [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 1
Lösungen für a, b und c:
a = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
b = [mm] -\bruch{3}{4}
[/mm]
c = -1
Gesamtlösung: y = yh + yp
y = c1 + c2 [mm] *e^{-2x} [/mm] + x * [mm] (\bruch{1}{6} x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4} [/mm] x - 1)
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Hallo andi7987,
> Löse folgende Differentialgleichung:
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> y'' + 2y' = [mm]x^{2}[/mm] - 2*x + 1
> So ich habe folgende Lösung und möchte gerne wissen ob
> das richtig ist?
>
> 1. homogene Teil:
>
> y'' + 2y' = 0
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]2\lambda[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda*(\lambda[/mm] + 2) = 0
>
> Lösungen:
> [mm]\lambda1[/mm] = 0
> [mm]\lambda[/mm] = - 2
>
>
> yh = c1 + c2 * [mm]e^{-2x}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. partikuläre Teil:
>
> [mm]x^{2}[/mm] - 2x + 1 = 0
>
> Hier kommt laut Formelbuch meiner Meinung nach folgender
> Ansatz zum Tragen!
>
> [mm]\lambda1[/mm] = 0; [mm]\lambda \not=[/mm] 0
>
> yp = x * [mm](ax^{2}[/mm] + bx + c)
>
> Das ganze jetzt 2 mal ableiten:
>
> y'p = [mm]3ax^{2}[/mm] + 2bx + c
> y''p = 6ax + 2b
>
> Dann das in die Ausgangsgleichung einsetzen!
>
> 6ax + 2b + 2 * [mm](3ax^{2}[/mm] + 2bx + c) = [mm]x^{2}[/mm] - 2x + 1
>
> Lösungen für a, b und c:
> a = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> b = [mm]-\bruch{3}{4}[/mm]
> c = -1
Für c kommt doch ein anderer Wert heraus.
>
> Gesamtlösung: y = yh + yp
> y = c1 + c2 [mm]*e^{-2x}[/mm] + x * [mm](\bruch{1}{6} x^{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm] x - 1)
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Stimmt, da hab ich was verschlampt!
c müssten das sein:
c = [mm] \bruch{10}{4} [/mm]
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Hallo Andi,
> Stimmt, da hab ich was verschlampt!
>
> c müssten das sein:
>
> c = [mm]\bruch{10}{4}[/mm]
Ich komme da aber auf [mm] $c=\frac{\red{5}}{4}$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ok, also ich post jetzt mal meine Lösungansätze. Vielleicht seht ihr dann, wo ich den Fehler gemacht habe.
6ax + 2b + 2 [mm] *(3ax^{2} [/mm] + 2bx + c) = [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 1
6ax + 2b + [mm] 6ax^{2} [/mm] + 4bx + c = [mm] x^{2} [/mm] - 2 x + 1
[mm] x^{2}: [/mm] 6a = 1 =
a = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
x: 6a + 4b = - 2 =
b = - [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] x^{0}: [/mm] 2b + 1c = 1
2 * [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] + 1c = 1
[mm] -\bruch{6}{4} [/mm] + 1c = [mm] \bruch{4}{4}
[/mm]
c= [mm] \bruch{10}{4}
[/mm]
??
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Hallo andi7987,
> Ok, also ich post jetzt mal meine Lösungansätze.
> Vielleicht seht ihr dann, wo ich den Fehler gemacht habe.
>
> 6ax + 2b + 2 [mm]*(3ax^{2}[/mm] + 2bx + c) = [mm]x^{2}[/mm] - 2x + 1
> 6ax + 2b + [mm]6ax^{2}[/mm] + 4bx + c = [mm]x^{2}[/mm] - 2 x + 1
>
> [mm]x^{2}:[/mm] 6a = 1 =
> a = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> x: 6a + 4b = - 2 =
> b = - [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> [mm]x^{0}:[/mm] 2b + 1c = 1
Diese Gleichung muss nach Deinem Ansatz so lauten:
[mm]x^{0}:[/mm] 2b + [mm] \red{2}c [/mm] = 1
> 2 * [mm]-\bruch{3}{4}[/mm] + 1c = 1
> [mm]-\bruch{6}{4}[/mm] + 1c = [mm]\bruch{4}{4}[/mm]
> c= [mm]\bruch{10}{4}[/mm]
>
> ??
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ah, genau! 
Vielen Dank!
PS: Großes Danke und Kompliment an alle Helfer!
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