DG 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mo 18.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in den folgenden Aufgaben die Lösung
des gegebenen Anfangswertproblems. Skizzieren
Sie den Kurvenverlauf der Lösung und beschreiben
Sie sein Verhalten für ansteigendes x.
6y'' - 5y' + y = 0
y(0) = 4
y'(0) = 0 |
Hier hätte ich folgenden Ansatz gewählt:
y'' - [mm] \bruch{5}{6}y' [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}y [/mm] = 0
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{6} \lambda [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] = 0
Kann ich das so machen! Ich bitte um eure Hilfe!  Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie in den folgenden Aufgaben die Lösung
> des gegebenen Anfangswertproblems. Skizzieren
> Sie den Kurvenverlauf der Lösung und beschreiben
> Sie sein Verhalten für ansteigendes x.
>
> 6y'' - 5y' + y = 0
>
> y(0) = 4
> y'(0) = 0
> Hier hätte ich folgenden Ansatz gewählt:
>
> y'' - [mm]\bruch{5}{6}y'[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}y[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]\bruch{5}{6} \lambda[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] = 0
>
> Kann ich das so machen!
Ja
> Ich bitte um eure Hilfe!
Wenn Du die Lösungen der Gleichung [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]\bruch{5}{6} \lambda[/mm] + [mm]\bruch{1}{6}[/mm] = 0 hast, weißt Du dann wie es weitergeht ?
FRED
> Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 18.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ok ich mach dann so weiter
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{5}{6} +- \wurzel{((\bruch{-5}{6}^{2})} - (4 * \bruch{1}{6}))}{2}! [/mm] (irgendwie sehr viele Klammern! )
Dann bekomme ich folgendes raus:
[mm] \lambda [/mm] 1 = 3
[mm] \lambda [/mm] 2 = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
y = c1 * [mm] e^{3x} [/mm] + c2 * [mm] e^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Ok ich mach dann so weiter
>
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{5}{6} +- \wurzel{((\bruch{-5}{6}^{2})} - (4 * \bruch{1}{6}))}{2}![/mm]
> (irgendwie sehr viele Klammern! )
>
> Dann bekomme ich folgendes raus:
>
> [mm]\lambda[/mm] 1 = 3
die 3 ist falsch!
> [mm]\lambda[/mm] 2 = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
das stimmt
>
warum nimmst du eigentlich die mitternachtsformel, wenn das polynom schon für die pq-formel "aufbereitet" ist. das würde sicherlich nochmal den fehler minimieren (denke ich)
> y = c1 * [mm]e^{3x}[/mm] + c2 * [mm]e^{\bruch{1}{3}}[/mm]
wäre die 2. nullstelle des char. polynoms richtig, müsste im exponenten hinten noch ein x stehen
>
>
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Stimmt, blöder Denkfehler!
[mm] \lambda1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Daher ist dann y = c1 * [mm] e^{\bruch{1}{3}*x} [/mm] + c2 * [mm] e^{\bruch{1}{2}*x}
[/mm]
Jetzt die Anfangsbedingung:
y(0) = 4 einsetzen! Da komm ich auf c1 = 4 - c2
y'(0) = 0
Hier weiß ich nicht, abgeleitet ist das ganze
0 = [mm] \bruch{c2 * e^{\bruch{x}{2}}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{c1 * e^{\bruch{x}{3}}}{3} [/mm]
Aber da komm ich irgendwie auf kein vernünftiges Ergebnis!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt, blöder Denkfehler!
>
> [mm]\lambda1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Daher ist dann y = c1 * [mm]e^{\bruch{1}{3}*x}[/mm] + c2 *
> [mm]e^{\bruch{1}{2}*x}[/mm]
O.K.
>
> Jetzt die Anfangsbedingung:
>
> y(0) = 4 einsetzen! Da komm ich auf c1 = 4 - c2
O.K.
>
> y'(0) = 0
>
> Hier weiß ich nicht, abgeleitet ist das ganze
>
> 0 = [mm]\bruch{c2 * e^{\bruch{x}{2}}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{c1 * e^{\bruch{x}{3}}}{3}[/mm]
Nein. Zunächst berechnen wir y':
$y'(x) = [mm] \bruch{1}{3}c_1e^{\bruch{1}{3}*x}+\bruch{1}{2}c_2e^{\bruch{1}{2}*x}$
[/mm]
y'(0) = 0 liefert dann $0 = [mm] \bruch{c_1}{3}+\bruch{c_2}{2}$
[/mm]
Nun hast Du 2 gleichungen für [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2
[/mm]
FRED
>
> Aber da komm ich irgendwie auf kein vernünftiges
> Ergebnis!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Dann setz ich dann für c1 = 4 - c2 (von oben) in die 2. ein!
0 = [mm] \bruch{c1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{c2}{2}
[/mm]
0 = [mm] \bruch{4-c2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{c2}{2}
[/mm]
dann auf gleichen nenner das ganze bringen.
0 = [mm] \bruch{8-2c2}{6} [/mm] + [mm] \bruch{3c2}{2}
[/mm]
0 = [mm] \bruch{c2 + 8}{6}
[/mm]
c2 + 8 = 0
c2 = - 8
c1 = 4 - 8
daher c1 = -4
Ist das jetzt so richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Andi,
> Dann setz ich dann für c1 = 4 - c2 (von oben) in die 2.
> ein!
>
> 0 = [mm]\bruch{c1}{3}[/mm] + [mm]\bruch{c2}{2}[/mm]
>
> 0 = [mm]\bruch{4-c2}{3}[/mm] + [mm]\bruch{c2}{2}[/mm]
>
> dann auf gleichen nenner das ganze bringen.
>
> 0 = [mm]\bruch{8-2c2}{6}[/mm] + [mm]\bruch{3c2}{2}[/mm]
>
> 0 = [mm]\bruch{c2 + 8}{6}[/mm]
>
> c2 + 8 = 0
>
> c2 = - 8 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> c1 = 4 - 8
Puh, was ist hier los??
Es ist doch [mm] $c_1=4-c_2$
[/mm]
Mit [mm] $c_2=-8$ [/mm] gibt das doch wohl [mm] $c_1=4-(-8)=4+8=12$
[/mm]
> daher c1 = -4
>
> Ist das jetzt so richtig?
Halb
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Stimmt, Fehler!
Danke für deine Hilfe!
|
|
|
|
