DGL mit welchem Ansatz? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Do 15.10.2009 | | Autor: | bobbert |
| Aufgabe | | x´´+5x´+4x=sin2t im Gegensatz zu x´´-2x´+2x=sin2t |
bei der 1. x´´+5x´+4x=sin2t nehme ich den Ansatz [mm] x(t)=e^\lambda [/mm] t und leite sie 2 mal ab.
bei der 2. DGL x´´-2x´+2x=sin2t nehme ich den Ansatz [mm] \lambda^2-2\lambda+4x [/mm] weil ich dort komplexe Zahlen heraus bekomme.
Habe die Ansätze vorgegeben bekommen doch wie komme ich selber darauf, dass ich diesen Ansatz nehmen muss?
Sollte ich zuerst die homogene DGL mit der PQ-Formel bearbeiten und so herausfinden ob [mm] \lambda [/mm] eine komplexe oder reelle Zahl ist , oder [mm] \lambda [/mm] 1,2 vll nur eine Zahl sind , damit ich den richtigen Ansatz dafür wählen kann?
Ich möchte nicht die herleitungen für die Sätze , sondern nur wissen wie ich erkenne welchen Satz ich nehmen muss!
Danke schon im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo babbert,
> x´´+5x´+4x=sin2t im Gegensatz zu x´´-2x´+2x=sin2t
> bei der 1. x´´+5x´+4x=sin2t nehme ich den Ansatz
> [mm]x(t)=e^\lambda[/mm] t und leite sie 2 mal ab.
>
> bei der 2. DGL x´´-2x´+2x=sin2t nehme ich den Ansatz
> [mm]\lambda^2-2\lambda+4x[/mm] weil ich dort komplexe Zahlen heraus
> bekomme.
>
> Habe die Ansätze vorgegeben bekommen doch wie komme ich
> selber darauf, dass ich diesen Ansatz nehmen muss?
> Sollte ich zuerst die homogene DGL mit der PQ-Formel
> bearbeiten und so herausfinden ob [mm]\lambda[/mm] eine komplexe
> oder reelle Zahl ist , oder [mm]\lambda[/mm] 1,2 vll nur eine Zahl
> sind , damit ich den richtigen Ansatz dafür wählen kann?
>
Ja, ermittle zunächst die Nullstellen
des charakteristischen Polynoms
[mm]\lambda^{2}+a*\lambda+b=0[/mm]
Die Lösung der homogenen DGL ergibt sich gemäß dem Ansatz:
[mm]x\left(t\right)=c_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+c_{2}*e^{\lambda_{2}*t}[/mm]
,wobei [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/mm] Lösungen der obigen Gleichung sind.
Für reelle [mm]\lambda[/mm] sind die
Lösungen der homogenen DGL sofort ersichtlich.
Sind [mm]\lambda_{1}, \ \lambda_{2}[/mm] komplex, so ergeben sich die
Lösungen wie folgt:
[mm]x\left(t\right)=c_{1}*e^{\operatorname{Re}\left(\lambda_{1}\right)*t}*\sin\left(\operatorname{Im}\left(\lambda_{1}\right)*t\right)+c_{2}*e^{\operatorname{Re}\left(\lambda_{1}\right)*t}*\cos\left(\operatorname{Im}\left(\lambda_{1}\right)*t\right)[/mm]
>
> Ich möchte nicht die herleitungen für die Sätze ,
> sondern nur wissen wie ich erkenne welchen Satz ich nehmen
> muss!
Um die inhomogene DGL zu lösen,
wählst Du den Ansatz gemäß der Störfunktion.
>
> Danke schon im Voraus!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Do 15.10.2009 | | Autor: | bobbert |
Danke Mathpower!
Sehr gut also erst schauen was [mm] \lambda [/mm] 1 und 2 ergibt und dann danach den Ansatz wählen.
Im Bezug auf die Spezielle Lösung der inhomogenen DGL:
Ansatz xs(t)=a*cos2t+b*sin2t wobei sin2t der inhomogene Teil ist.
Es würde ja aber keinen UNterschied machen wenn ich sie vertauschen würde :
xs(t)=a*sin2t+b*cos2t oder ????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Do 15.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo bobbert!
> Es würde ja aber keinen UNterschied machen wenn ich sie
> vertauschen würde :
>
> xs(t)=a*sin2t+b*cos2t oder ????
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Do 15.10.2009 | | Autor: | bobbert |
Danke euch beiden !
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