DGL mit Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie mittels eines Potenzreihenansatzes die Lösung der DGL:
(x-1)y' - y + [mm] x^{3} [/mm] = 0 |
Hallo zusammen,
habe zum 1.Mal versucht eine DGL durch Potenzreihenansatz zu lösen und habe keine Ahnung, ob meine Lösung auch nur im Entferntesten richtig ist.
Meine Lösung
nach Umformung:
y'= [mm] \bruch{y- x^{3}}{x-1}
[/mm]
dann definiere ich:
y(x)= [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} a_{k} x^{k} [/mm] und dementsprechend y'(x)= [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} a_{k}k x^{k-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] k [mm] a_{k} x^{k-1}
[/mm]
nach einsetzen, umformen und anpassen der Indizes:
[mm] x^{3} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} [/mm] (k+1) [mm] a_{k+1} x^{k+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} [/mm] ((k+1) [mm] a_{k+1}+ a_{k}) x^{k} \Rightarrow a_{1}x+2 a_{2} x^{2}+3 a_{3} x^{3}+ x^{3}+ \summe_{k=3}^{ \infty} [/mm] (k+1) [mm] a_{k+1} x^{k+1} [/mm] = ( [mm] a_{1}+ a_{0})+(2 a_{2}+ a_{1})x+(3 a_{3}+ a_{2}) x^{2}+(4 a_{4}+ a_{3}) x^{3}+ \summe_{k=4}^{ \infty} [/mm] (k+1) [mm] a_{k+1}+ a_{k}) x^{k} \Rightarrow a_{2}= a_{3}=0 [/mm] und Fallunterscheidung (beim weiteren Koeffizientenvergleich)
1. [mm] x^{3} [/mm]
3 [mm] a_{3}-1 [/mm] = 4 [mm] a_{4}+ a_{3} \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow a_{4}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
2. [mm] x^{k} [/mm] für k [mm] \in [/mm] {4,5,6,...}
(k+1) [mm] a_{k+1} [/mm] = (k+1) [mm] a_{k+1}+ a_{k} \Rightarrow a_{k}=0
[/mm]
somit:
y(x)= [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} a_{k} x^{k}= a_{0}+ a_{1}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} x^{4}
[/mm]
Grundsätzlich richtig? Danke schon mal und Grüße, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 13.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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