DGL lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Do 06.04.2006 | | Autor: | prfk |
| Aufgabe | | [mm]
\bruch{U_{T}}{I(t)+1} \* \bruch{1}{I_{S}^{2}} \* \bruch{d I(t)}{dt} + \bruch {1}{C} \* I(t) + \bruch{d I(t)}{dt} \* R = 0
[/mm] |
[mm] U_{T}, I_{S}, [/mm] C und R sind Konstanten
Ich bin gerade dabei diese Differentialgleichung (DGL) zu lösen. Es geht dabei um ein Problem aus der Elektrotechnik, aber ich dachte mal, ich wende mich hier an die Mathematiker :)
Mein Problem hierbei ist der erste Summand. Ich denke, dass ich hier mit Partialbruchzerlegung bei muss, diese aber leider nie gelernt hab, und mich bis jetzt auch immer erfolgreich darum drücken konnte. Jetzt krieg ich die Quittung dafür.
Kann mir bitte jemand die DGL so umstellen, dass ich ein Lösungsverfahren anwenden kann?
Vielen Dank schon mal allen, die sich mit meinem Problem auseinandersetzen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo prfk,
die dgl. hat, etwas vereinfacht, die Form:
[mm] $C_1 \frac{\dot I}{I+1}+C_2 [/mm] I + [mm] C_3 \dot [/mm] I =0$
Umstellen nach [mm] $\dot [/mm] I$ liefert
[mm] $\dot I=-\frac{C_2 I (I+1)}{C_1+C_3(I+1)}$
[/mm]
Da auf der rechten Seite nur die Funktion $I$ und nicht die Variable $t$ auftaucht, bietet sich trennung der variablen an:
[mm] $-\frac{C_1+C_3(I+1)}{C_2 I (I+1)} [/mm] dI = dt$
Damit erhält man nach integrieren
[mm] $-\int{(\frac{C_1}{C_2 I (I+1)}+ \frac{C_3}{C_2 I}})dI=\int{dt}$
[/mm]
Das zweite teilintegral auf der linken seite ist trivial, für das erste benötigst du in der tat eine partialbruchzerlegung. Tip: bestimme koeffizienten [mm] $a_1,a_2$, [/mm] so dass
[mm] $\frac{a_1}{I} [/mm] + [mm] \frac{a_2}{I+1} =\frac{1}{I(I+1)}$
[/mm]
Dann kannst du die entstehenden teilintegrale leicht lösen.
VG
Matthias
PS: hoffentlich habe ich keinen rechenfehler eingebaut...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 06.04.2006 | | Autor: | prfk |
Dank dir erst mal für dein Antwort. Die Integrale hab ich gelöst, hab nur leider jetzt Probleme die Lösung nach I(t) aufzulösen.
Die Lösung der integrale ergibt nach meiner Rechnung:
[mm] \bruch{C_{3}}{C_{2}}*[ln(I(t))+A_{1}] [/mm] - [mm] \bruch{C_{1}}{C_{2}}*[ln(\bruch{I(t)}{I(t)+1)})+A_{2}] [/mm] = [mm] A_{3}
[/mm]
Nach Umformungen, komme ich an dieser Stelle nicht weiter:
[mm] exp(\bruch{C_{3}}{C_{2}}*A_{1}- \bruch{C_{1}}{C_{2}}*A_{2} [/mm] - [mm] A_{3}) [/mm] = exp [mm] (\bruch{C_{1}}{C_{2}}*ln[\bruch{I(t)}{I(t)+1}]) [/mm] * exp (- [mm] \bruch{C_{3}}{C_{2}}*(ln[I(t)])
[/mm]
[mm] exp(\bruch{C_{3}}{C_{2}}*A_{1}- \bruch{C_{1}}{C_{2}}*A_{2} [/mm] - [mm] A_{3}) [/mm] = [mm] (\bruch{i(t)}{I(t)+1})^\bruch{C_{1}}{C_{2}}*(I(t))^{-\bruch{C_{3}}{C_{2}}}
[/mm]
Wie kann ich das jetzt nach I(t) auflösen?
Sorry, ich glaub das ist gar nicht so schwer, aber komm gerade nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 06.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo prg
Du hast erstens viel zu viel Konstanten! In einer Dgl 1. Ordnung gibts nur eine! zweitens fehlt auf der rechten Seite t statt A und da kannst du auch die einzige Integrationskonstant hinpacken!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 06.04.2006 | | Autor: | prfk |
zweitens fehlt auf der rechten Seite t statt A
Ein Integral über 0 ist doch eine Konstante oder sehe ich da was falsch?
Klar kann ich die Konstanten noch zusammenfassen, aber darum geht es ja gerade nicht.
Mein Problem ist, dass ich die Gleichung, wegen den Potenzen, nicht nach I(t) auflösen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Do 06.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \integral{1*dt} [/mm] ist doch nicht [mm] \integral{0*dt}?
[/mm]
Ich hab noch ne frage zu Deiner ursprünglichen Dgl: der erste Term kann physikalisch keinen Sinn machen, denn 1. Welche dimension kann I+1 haben, zweitens nehm ich an dass [mm] U_{T} [/mm] ne Spannung und [mm] I_{S} [/mm] ein ne stromstärke ist, dann hat selbst wenn ich annehme dass 1=1A bedeutet der erste Term ne andere Dimension als die zwei anderen.
Deine Gl kann auch ich nicht auflösen, auch nicht mit dem t drin. deshalb die Idee, vielleicht sei die Dgl falsch. oder gibts nen Zusammenhang zw. C,R, und [mm] U_{T} [/mm] und [mm] I_{S}?
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Fr 07.04.2006 | | Autor: | prfk |
@leduart
Du hast mit dem was du schreibts recht. Es ist natürlich das integral über 1 und nicht über 0.
Desweiteren stimme ich dir ebenfalls zu, dass das mit den Einheiten nicht stimmen kann. Nach überprüfung meiner vorangegangenen Rechnungen hab ich einen Fehler beim Umstellen der Gleichung gefunden.
Damit ergibt sich die Ursprüngliche DGL zu:
[mm] (\bruch{U_{T}}{I+I_{s}}+R)* \bruch{dI}{dt}+\bruch{1}{C}*I
[/mm]
Ohne Betrachtung der Integrationskonstanten (In vorherigen Beiträgen A genannt) und ohne Substitution der Konstanten durch C, ergibt sich nach analogem Rechenweg:
[mm] (\bruch{I}{I+I_{s}})^{-U_{T}*C}*I^{-RC}=e^t
[/mm]
Leider ändert das alles nichts an der Sache, dass ich an diesem Punkt nicht weiter komme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Fr 07.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo prfg
die Dgl wird einfacher mit [mm] \overline{I}=I+I_{s}, [/mm] da dann [mm] \overline{I}'=I'
[/mm]
und du hast ne einfachere allerdings inhomogene Dgl.
versuchs damit, ich hab grad keine Zeit, das durchzuprobieren.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:49 Fr 07.04.2006 | | Autor: | prfk |
Die von dir vorgeschlagene Substitution bring mich leider auch nicht zum Ziel. Ich hoffe ich hab dich da auch richtig verstanden, wenn nicht bitte korrigieren...
Ich substituiere
[mm]Z=I +I_{s}[/mm]
[mm]Z'= I'[/mm]
[mm]I= Z-I_{s}[/mm]
Damit ergibt sich folgende DGL:
[mm]
(\bruch{U_{T}}{Z}+R)*Z' + \bruch{1}{C}*(Z-I_{s})=0
[/mm]
Leider komme ich nach einigen Umformungen nicht weiter bzw nicht dahin wo ich will.
Ich komme bis hier:
[mm]
Z' + \bruch{Z-I_{s}}{\bruch{C*U_{T}}{Z}+R}=0
[/mm]
Aud dem zweiten Summanden würde ich jetzt gerne das Z "ausklammern". Leider bin ich bei sowas etwas unbeholfen...
Kann jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Sa 08.04.2006 | | Autor: | prfk |
Ich hatte gerade noch eine Idee um den Bruch in der DGL etwas angenehmer aussehen zu lassen....
Leider nur mit maßigem Erfolg. Ich hab versucht eine Polynomdivision durchzuführen.
[mm]
Z' + \bruch{Z-I_{s}}{\bruch{C*U_{T}}{Z}+R}=0
[/mm]
Wie zu erwarten war, geht die Division natürlich nicht auf und führt auf eine unendliche Summe, die sich wie folgt zusammen setzt:
[mm]
(Z-I_{s}):(C*U_{T} * \bruch{1}{Z}+R) = \summe_{i=1}^{\infty} (-1)^{k+1}*R^{k-1}+C^{-k}*U_{T}^{-k}*Z^{k+1}-\bruch{I_{s}}{\bruch{C*U_{T}}{Z}+R}
[/mm]
Bringt mich nicht weiter oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 16.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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