DGL homogen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Di 20.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
| Aufgabe | Da ich meistens zu beginn einer DGL Rechnung Probleme habe poste ich diese Aufgabe um die Richtigkeit zu überprüfen :
Gegeben sei folgende DGL:
x*y'(x) +y(x) = x*cos(x)
a) Bestimmen sie eine homogene Lösung mit Trennung der Veränderlichen.
b) Bestimmen sie eine partikuläre Lösung mit Variation der Konstanten .
c) Bestimmen sie die allgemeine Lösung
Ansatz:
x*y'(x) +y(x) = 0
x*y'(x) = -y(x)
x*dy/dx = -y
ln(y) = -ln(x) +C
ln(y) = [mm] ln(e^C) [/mm] -ln(x)
[mm] y=\bruch{e^C}{x}
[/mm]
[mm] e^c [/mm] = C
[mm] y=\bruch{C}{x}
[/mm]
Passt? |
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Hallo,
> Da ich meistens zu beginn einer DGL Rechnung Probleme habe
> poste ich diese Aufgabe um die Richtigkeit zu überprüfen
> :
>
> Gegeben sei folgende DGL:
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> x*y'(x) +y(x) = x*cos(x)
>
> a) Bestimmen sie eine homogene Lösung mit Trennung der
> Veränderlichen.
> b) Bestimmen sie eine partikuläre Lösung mit Variation
> der Konstanten .
>
> c) Bestimmen sie die allgemeine Lösung
>
> Ansatz:
>
> x*y'(x) +y(x) = 0
>
> x*y'(x) = -y(x)
>
> x*dy/dx = -y
>
> ln(y) = -ln(x) +C
>
> ln(y) = [mm]ln(e^C)[/mm] -ln(x)
>
> [mm]y=\bruch{e^C}{x}[/mm]
>
> [mm]e^c[/mm] = C
>
> [mm]y=\bruch{C}{x}[/mm]
>
> Passt?
Bis auf deine hartnäckigen Fehler im Umgang mit dem Integral
[mm] \int{ \frac{dx}{x}}=ln|x|+C[/mm]
stimmt die Lösung. Die betreffende Zeile muss hier
ln|y|=-ln|x|+C
heißen, da ja kein Definitionsbereich für die Lösungfunktionen vorgegeben ist, wie beim letzten Mal.
Außerdem solltest du darauf achten, wenn du eine Konstante umdefinierst, dies durch Wechsel der verwendeten Symbole darzustellen, also etwa
[mm] c=e^C
[/mm]
In der Mathematik reicht es nicht aus, das am Ende das Ergebnis passt, der Weg muss ebenfalls stimmen!
Ich würde dir für diesen Lösungsweg, so ich ihn korrigieren würde, Punkte abziehen. Aus den genannten Gründen.
Und zum Schluss, auch erneut: es gibt keine homogenen Lösungen, das ist sprachlicher Unsinn (auch wenn sich das gerade irgendwie durchzusetzen scheint). Was du berechnet hast, ist die Lösung der zuhehörigen homogenen Differenzialgleichung.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 20.03.2018 | | Autor: | Cash33 |
Danke .
Das andere scheint analog wie die letzte Aufgabe.
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Hallo,
> Danke .
>
> Das andere scheint analog wie die letzte Aufgabe.
Die Vorgehensweise ist dieselbe, ja.
Gruß, Diophant
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