DGL harm. Oszillator < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] mx''(t)+m\omega^2x=F_0*\cos\omega_a*t
[/mm]
[mm] \omega_A= [/mm] äußere Anregungsfrequenz
Anfangsbedingungen: x(t=0)=0, x'(t=0)=0 |
Hallo!!
Ich muss obige DGL lösen. Dazu wollte ich zuerst die Lösung der homogenen Gleichung bestimmen. Mit dem Ansatz [mm] e^{\lambda*t} [/mm] komme ich auf die allgemeine Lösung: [mm] $c_1*\sin(\omega t)+c_2*\cos(\omega [/mm] t)$
Wenn ich jetzt versuche die [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] mit den Anfangsbedingungen zu bestimmen, so komme ich auf [mm] c_1=c_2=0. [/mm] Das kann ja nicht sein....
Wie komme ich dann außerdem noch auf die Lösung der inhomogenen Gleichung??
Da ich leider die entsprechende Vorlesung nicht besuchen kann, kann ich nur sehr schlecht mit DGL umgehen.
Danke für Eure Hilfe.
Patrick
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Hallo XPatrickX,
> [mm]mx''(t)+m\omega^2x=F_0*\cos\omega_a*t[/mm]
> [mm]\omega_A=[/mm] äußere Anregungsfrequenz
> Anfangsbedingungen: x(t=0)=0, x'(t=0)=0
> Hallo!!
>
> Ich muss obige DGL lösen. Dazu wollte ich zuerst die Lösung
> der homogenen Gleichung bestimmen. Mit dem Ansatz
> [mm]e^{\lambda*t}[/mm] komme ich auf die allgemeine Lösung:
> [mm]c_1*\sin(\omega t)+c_2*\cos(\omega t)[/mm]
[mm]x_{H}\left(t\right)=c_{1}*\sin\left(\omega t\right)+c_{2}*\cos\left(\omega t\right)[/mm]
> Wenn ich jetzt
> versuche die [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] mit den Anfangsbedingungen zu
> bestimmen, so komme ich auf [mm]c_1=c_2=0.[/mm] Das kann ja nicht
> sein....
Dazu brauchst Du erst die Lösung der inhomogen DGL.
>
> Wie komme ich dann außerdem noch auf die Lösung der
> inhomogenen Gleichung??
Hier mußt Du unterscheiden, ob [mm]\omega = \omega_{A}[/mm] bzw. [mm]\omega=\omega_{A} [/mm] ist.
i) [mm]\omega \not= \omega_{A}[/mm]
[mm]x_{P}\left(t\right)=\alpha*\sin\left(w_{A}t\right)+\beta*\cos\left(\omega_{A}t\right)[/mm]
ii) [mm]\omega = \omega_{A}[/mm]
[mm]x_{P}\left(t\right)=\alpha*t*\sin\left(w_{A}t\right)+\beta*t*\cos\left(\omega_{A}t\right)[/mm]
>
> Da ich leider die entsprechende Vorlesung nicht besuchen
> kann, kann ich nur sehr schlecht mit DGL umgehen.
>
> Danke für Eure Hilfe.
> Patrick
Gruß
MathePower
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Hey nochmal,
sorry ich komm da immer noch nicht weiter...
> > [mm]mx''(t)+m\omega^2x=F_0*\cos\omega_a*t[/mm]
> > [mm]\omega_A=[/mm] äußere Anregungsfrequenz
> > Anfangsbedingungen: x(t=0)=0, x'(t=0)=0
> > Hallo!!
> >
> > Ich muss obige DGL lösen. Dazu wollte ich zuerst die Lösung
> > der homogenen Gleichung bestimmen. Mit dem Ansatz
> > [mm]e^{\lambda*t}[/mm] komme ich auf die allgemeine Lösung:
> > [mm]c_1*\sin(\omega t)+c_2*\cos(\omega t)[/mm]
>
> [mm]x_{H}\left(t\right)=c_{1}*\sin\left(\omega t\right)+c_{2}*\cos\left(\omega t\right)[/mm]
Ok, also dies ist meine Lösung der homogenen Gleichung.
>
>
> > Wenn ich jetzt
> > versuche die [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] mit den Anfangsbedingungen zu
> > bestimmen, so komme ich auf [mm]c_1=c_2=0.[/mm] Das kann ja nicht
> > sein....
>
>
> Dazu brauchst Du erst die Lösung der inhomogen DGL.
>
>
> >
> > Wie komme ich dann außerdem noch auf die Lösung der
> > inhomogenen Gleichung??
>
>
> Hier mußt Du unterscheiden, ob [mm]\omega = \omega_{A}[/mm] bzw.
> [mm]\omega=\omega_{A}[/mm] ist.
>
>
> i) [mm]\omega \not= \omega_{A}[/mm]
>
> [mm]x_{P}\left(t\right)=\alpha*\sin\left(w_{A}t\right)+\beta*\cos\left(\omega_{A}t\right)[/mm]
>
Vielleicht klären wir erstmal diesen ersten Fall. Also ich mache diesen Ansatz. Was ist denn der nächste Schritt den ich machen muss, also wie kann ich [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] bestimmen?
Muss ich dazu die partik. Lsg in die Diff-Gleichung einsetzen?
[mm] -\alpha*\omega_A^2*\sin\left(w_{A}t\right)-\beta*\omega_A^2*\cos\left(\omega_{A}t\right)+m\omega^2*x_p(t)=F_0*\cos(\omega_A*t)
[/mm]
Ist das überhaupt richtig so?? Wäre nett wenn mir da jemand noch ein paar Tipps geben kann.
> ii) [mm]\omega = \omega_{A}[/mm]
>
> [mm]x_{P}\left(t\right)=\alpha*t*\sin\left(w_{A}t\right)+\beta*t*\cos\left(\omega_{A}t\right)[/mm]
>
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> >
> > Da ich leider die entsprechende Vorlesung nicht besuchen
> > kann, kann ich nur sehr schlecht mit DGL umgehen.
> >
> > Danke für Eure Hilfe.
> > Patrick
>
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo XPatrickX,
> Hey nochmal,
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> sorry ich komm da immer noch nicht weiter...
>
>
> > i) [mm]\omega \not= \omega_{A}[/mm]
> >
> >
> [mm]x_{P}\left(t\right)=\alpha*\sin\left(w_{A}t\right)+\beta*\cos\left(\omega_{A}t\right)[/mm]
> >
> Vielleicht klären wir erstmal diesen ersten Fall. Also ich
> mache diesen Ansatz. Was ist denn der nächste Schritt den
> ich machen muss, also wie kann ich [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> bestimmen?
> Muss ich dazu die partik. Lsg in die Diff-Gleichung
> einsetzen?
>
Ja.
> [mm]-\alpha*\omega_A^2*\sin\left(w_{A}t\right)-\beta*\omega_A^2*\cos\left(\omega_{A}t\right)+m\omega^2*x_p(t)=F_0*\cos(\omega_A*t)[/mm]
>
> Ist das überhaupt richtig so?? Wäre nett wenn mir da jemand
> noch ein paar Tipps geben kann.
>
[mm]x_{P}\left(t\right)[/mm] mußt ja auch noch einsetzen.
Dann einen ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich durchführen, d.h. die Koeffizienten
auf der linken und rechten Seite vor Sinus und Cosinus miteinander vergleichen.
Daraus erhältst Du dann die Koeffizienten [mm]\alpha, \ \beta[/mm].
>
>
>
> > ii) [mm]\omega = \omega_{A}[/mm]
> >
> >
> [mm]x_{P}\left(t\right)=\alpha*t*\sin\left(w_{A}t\right)+\beta*t*\cos\left(\omega_{A}t\right)[/mm]
> >
> >
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower!
> [mm]x_{P}\left(t\right)=\alpha*\sin\left(w_{A}t\right)+\beta*\cos\left(\omega_{A}t\right)[/mm]
> > >
> > Vielleicht klären wir erstmal diesen ersten Fall. Also
> ich
> > mache diesen Ansatz. Was ist denn der nächste Schritt den
> > ich machen muss, also wie kann ich [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> > bestimmen?
> > Muss ich dazu die partik. Lsg in die Diff-Gleichung
> > einsetzen?
> >
>
>
> Ja.
>
>
> >
> [mm]-\alpha*\omega_A^2*\sin\left(w_{A}t\right)-\beta*\omega_A^2*\cos\left(\omega_{A}t\right)+m\omega^2*x_p(t)=F_0*\cos(\omega_A*t)[/mm]
> >
> > Ist das überhaupt richtig so?? Wäre nett wenn mir da jemand
> > noch ein paar Tipps geben kann.
> >
>
>
> [mm]x_{P}\left(t\right)[/mm] mußt ja auch noch einsetzen.
>
> Dann einen Koeffizientenvergleich
> durchführen, d.h. die Koeffizienten
> auf der linken und rechten Seite vor Sinus und Cosinus
> miteinander vergleichen.
> Daraus erhältst Du dann die Koeffizienten [mm]\alpha, \ \beta[/mm].
>
>
> >
Ich habe dann folgendes raus:
(sin:)
[mm] -\alpha*\omega_A^2+m\omega^2*\alpha=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow \alpha=0
[/mm]
(cos:)
[mm] -\beta*\omega_A^2+m\omega^2*\beta=F_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow \beta=\frac{F_0}{m\omega^2-\omega_A^2}
[/mm]
Somit ergibt sich als partikuläre Lösung:
[mm] x_p(t)=\frac{F_0}{m\omega^2-\omega_A^2}*\cos(\omega\cdot{}t)
[/mm]
Meine Lösung insgesamt lautet dann
[mm] x(t)=x_p(t)+x_h(t) [/mm] und die [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] bestimme ich dann durch meine anfangsbedingungen?
Danke, LG Patrick
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Hallo XPatrickX,
> Hallo MathePower!
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> >
> [mm]x_{P}\left(t\right)=\alpha*\sin\left(w_{A}t\right)+\beta*\cos\left(\omega_{A}t\right)[/mm]
> > > >
> > > Vielleicht klären wir erstmal diesen ersten Fall.
> Also
> > ich
> > > mache diesen Ansatz. Was ist denn der nächste Schritt den
> > > ich machen muss, also wie kann ich [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> > > bestimmen?
> > > Muss ich dazu die partik. Lsg in die Diff-Gleichung
> > > einsetzen?
> > >
> >
> >
> > Ja.
> >
> >
> > >
> >
> [mm]-\alpha*\omega_A^2*\sin\left(w_{A}t\right)-\beta*\omega_A^2*\cos\left(\omega_{A}t\right)+m\omega^2*x_p(t)=F_0*\cos(\omega_A*t)[/mm]
> > >
> > > Ist das überhaupt richtig so?? Wäre nett wenn mir da jemand
> > > noch ein paar Tipps geben kann.
> > >
> >
> >
> > [mm]x_{P}\left(t\right)[/mm] mußt ja auch noch einsetzen.
> >
> > Dann einen Koeffizientenvergleich
> > durchführen, d.h. die Koeffizienten
> > auf der linken und rechten Seite vor Sinus und Cosinus
> > miteinander vergleichen.
> > Daraus erhältst Du dann die Koeffizienten [mm]\alpha, \ \beta[/mm].
>
> >
> >
> > >
> Ich habe dann folgendes raus:
>
> (sin:)
> [mm]-\alpha*\omega_A^2+m\omega^2*\alpha=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] ... [mm]\Rightarrow \alpha=0[/mm]
>
> (cos:)
> [mm]-\beta*\omega_A^2+m\omega^2*\beta=F_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] ... [mm]\Rightarrow \beta=\frac{F_0}{m\omega^2-\omega_A^2}[/mm]
>
> Somit ergibt sich als partikuläre Lösung:
>
> [mm]x_p(t)=\frac{F_0}{m\omega^2-\omega_A^2}*\cos(\omega\cdot{}t)[/mm]
>
Korrekt lautet die partikuläre Lösung:
[mm]x_p(t)=\frac{F_0}{m \ \left( \ \omega^2-\omega_A^2 \ \right) \ }*\cos(\omega_{A}\cdot{}t)[/mm]
>
> Meine Lösung insgesamt lautet dann
>
> [mm]x(t)=x_p(t)+x_h(t)[/mm] und die [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] bestimme ich dann
> durch meine anfangsbedingungen?
So ist es.
>
> Danke, LG Patrick
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Di 16.12.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Stimmt, ich habe das m aus der DGL gar nicht mitgenommen. Ich hoffe, den Rest schaffe ich jetzt alleine.
Vielen Dank, MathePower!!
Gruß Patrick
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