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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Sa 12.04.2008 | | Autor: | rapher |
| Aufgabe | | Gesucht ist die Differentialgleichung aller Kreise, deren Mittelpunkte auf der Geraden y = x liegen. |
Ich habe bisher die Kreisgleichung aufgestellt und für die Mittelpunktsparameter y = x der Geraden eingesetzt. Wie muss nun ich nun weiter vorgehen? Wäre sehr dankbar für einen Tip!
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Hallo rapher,
> Gesucht ist die Differentialgleichung aller Kreise, deren
> Mittelpunkte auf der Geraden y = x liegen.
> Ich habe bisher die Kreisgleichung aufgestellt und für die
> Mittelpunktsparameter y = x der Geraden eingesetzt. Wie
> muss nun ich nun weiter vorgehen? Wäre sehr dankbar für
> einen Tip!
Poste doch bitte mal Deinen Ansatz.
In der Regel leitet man die Gleichung solange ab, bis alle Parameter eliminiert worden sind.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Sa 12.04.2008 | | Autor: | rapher |
(x - [mm] x_{g})^2 [/mm] + (y - [mm] y_{g})^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
=> [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] 2*x*x_{g} [/mm] - [mm] 2*y*y_{g} [/mm] = [mm] r^2 [/mm] - [mm] x_{g}^2 [/mm] - [mm] y_{g}
[/mm]
nun weiß ich nicht weiter!
Wenn ich solange ableite bis alle Parameter eliminiert sind, verschwindet dann nicht auch der Zusammenhang Mittelpunkte auf der Geraden [mm] y_{g}=x_{g} [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 So 13.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> (x - [mm]x_{g})^2[/mm] + (y - [mm]y_{g})^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> => [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - [mm]2*x*x_{g}[/mm] - [mm]2*y*y_{g}[/mm] = [mm]r^2[/mm] - [mm]x_{g}^2[/mm] -
> [mm]y_{g}[/mm]
>
> nun weiß ich nicht weiter!
>
> Wenn ich solange ableite bis alle Parameter eliminiert
> sind, verschwindet dann nicht auch der Zusammenhang
> Mittelpunkte auf der Geraden [mm]y_{g}=x_{g}[/mm] ?
Vielleicht ist das gemeint?:
$(x [mm] -x_{g})^2 [/mm] + (y [mm] -y_{g})^2 [/mm] = [mm] r^2$
[/mm]
$y = [mm] \wurzel{r^2-(x-x_g)^2}+y_g$
[/mm]
$y'= [mm] -\bruch{x-x_g}{\wurzel{r^2-(x-x_g)^2}}$
[/mm]
$y' = [mm] -\bruch{x-x_g}{ y-y_g}$
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:05 So 13.04.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo rapher,
> (x - [mm]x_{g})^2[/mm] + (y - [mm]y_{g})^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> => [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - [mm]2*x*x_{g}[/mm] - [mm]2*y*y_{g}[/mm] = [mm]r^2[/mm] - [mm]x_{g}^2[/mm] -
> [mm]y_{g}[/mm]
>
> nun weiß ich nicht weiter!
>
> Wenn ich solange ableite bis alle Parameter eliminiert
> sind, verschwindet dann nicht auch der Zusammenhang
> Mittelpunkte auf der Geraden [mm]y_{g}=x_{g}[/mm] ?
Ich habs ausprobiert, und es funktioniert mit meinem Ansatz:
[mm]\left(x-x_{g}\right)^{2}+\left(y-y_{g}\right)^{2}=r^{2}[/mm]
Da die Mittelpunkte der Kreise auf der Geraden [mm]y=x[/mm] liegen sollen, gilt [mm]y_{g}=x_{g}[/mm]
Demnach Ansatz:
[mm]\left(1\right) \ \left(x-x_{g}\right)^{2}+\left(y\left(x\right)-x_{g}\right)^{2}=r^{2}[/mm]
[mm]\left(2\right) \bruch{d}{dx}\left(\left(x-x_{g}\right)^{2}+\left(y\left(x\right)-x_{g}\right)^{2}\right)=0 \Rightarrow x_{g}= \ \dots[/mm]
[mm]\left(3\right) \bruch{d^{2}}{dx^{2}}\left(\left(x-x_{g}\right)^{2}+\left(y\left(x\right)-x_{g}\right)^{2}\right)=0[/mm]
In Gleichung (3) setzt man dann das aus Gleichung (2) ermittelte [mm]x_{g}[/mm] ein und erhält dann die geforderte DGL.
Diese DGL wird in der Tat von [mm]y\left(x\right)=x_{g} \pm \wurzel{r^{2}-\left(x-x_{g}\right)^{2}}[/mm] gelöst.
Nicht jedoch von [mm]y\left(x\right)=y_{g} \pm \wurzel{r^{2}-\left(x-x_{g}\right)^{2}}, \ y_{g} \not= x_{g}[/mm].
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 So 13.04.2008 | | Autor: | rapher |
Heute Morgen kurz nach dem Wach werden kam mir auch die Idee für [mm] y_{g}, x_{g} [/mm] einzusetzen!
Vielen Dank für eure Erläuterungen/Lösungen! Werde jetzt alles nochmal durchrechnen!
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