DGL berechnen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 21.10.2009 | | Autor: | DasDogma |
| Aufgabe | Lösen Sie durch Trennung der Variablen:
1) [mm] xt\bruch{dx}{dt}=e^x[/mm]
2) [mm] xy(1+x^2)\bruch{dy}{dx}=1+y^2[/mm]
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Hallo,
ich hoffe Ihr könnt mir bei meinem Problem helfen. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu 1)
Ich habe die Gleichung zuerst soweit umgestellt, dass alle x und alle t getrennt von einander sind:
[mm] \bruch{x}{e^x}dx=\bruch{1}{y}dy \Rightarrow \int_{}^{} \bruch{x}{e^x}\, dx=\int_{}^{} \bruch{1}{t}\, dt \Rightarrow \int_{}^{} \bruch{x}{e^x}\, dx=ln\left| t \right|+C[/mm]
Die linke Seite der Gleichung hab ich dann mittels partieller Integration bestimmt:
[mm]\bruch{-x-1}{e^x}=ln\left| t \right|+C[/mm]
Hier ist nun das Problem. Ich schaffe es beim besten Willen nicht das ganze nach x aufzulösen. Ich höffe Ihr könnt mir einen Tipp geben.
Zu 2)
Hier habe ich wieder die Variablen getrennt:
[mm][mm] \bruch{y}{1+y^2}dy=\bruch{1}{1+x^3}dx \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{y}{1+y^2} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^3} dx}
[/mm]
Und hier ist auch schon mein Problem. Es ist genau wie bei 1), dass ich es nicht schaffe nach y aufzulösen, weil ich hier auf ziemlich verzwickte Brüche komme usw.
Also ich hoffe Ihr könnt mir helfen. Schon mal danke im voraus.
MfG
Das Dogma
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Hallo,
du musst die Differentialgleichungen noch ein zweites mal, aber anders lösen:
für 1. [mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{e^x}{xt}\Rightarrow x=\bruch{e^x}{x}*ln(t)=\bruch{e^x}{x}*\bruch{-x-1}{e^x}=-1-\bruch{1}{x}
[/mm]
bei 2. hakts bei mir noch
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Sry ich habe hier wieder einmal Unsinn geschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mi 21.10.2009 | | Autor: | DasDogma |
Danke schon mal für die Antwort, auch wenn sie, wie Du meinst, nicht korrekt ist.
Ich hoffe Ihr könnt mir trotzdem noch weiterhelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Doing |
Hallo.
Die erste DGL ist tatsächlich nicht sonderlich lustig. Ich könnte mir vorstellen, dass da gar nicht verlangt wird dass man die nach x(t) auflöst. Falls doch, dürfte das nicht mithilfe elementarer Umformungen gehen, sondern bloß irgendwie über die Lambertsche W-Funktion (das ist die Umkehrfunktion von x*exp(x)). Wenn ihr sowas noch nicht gemacht habt, kann das aber wirklich schlecht verlangt werden.
Die zweite DGL lässt sich aber leicht nach y(x) umformen, sobald du die Integration auf beiden Seiten durchgeführt hast. Das Integral auf der rechten Seite ist übrigens
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+x^3} dx} [/mm]
Als Ergebnis hab ich jetzt auf die schnelle:
[mm] y(x)=\pm \wurzel{\bruch{C*x^2}{1+x^2}-1} [/mm]
Beste Grüße,
Doing
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