DGL System AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \dot{x} [/mm] = x+3y+z
[mm] \dot{y} [/mm] = 2x-z
[mm] \dot{z} [/mm] = -x+2y+2z
x(0)=1, y(0)=0, z(0)=-1 |
Hallo,
Ich hab hier Probleme mit dem AWP.
Als homogene Lösung bekomme ich:
[mm] y_{hom}: C_{1}e^{-x}\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] C_{2}e^{x}\vektor{-1 \\ 1 \\ -3} [/mm] + [mm] C_{3}e^{3x}\vektor{5 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Jetzt weiss ich allerdings nicht wie ich weiter vorgehe. Wie löst man ein AWP bei einem DGL System? Bei "normalen" DGLs weiss ich wie das geht, aber hier wär ein Ansatz hilfreich. Danke schon mal im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Di 17.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
1. Anstelle von x schreibe t in der Lösung, da x,y und z von t abhängen.
2. Setze t = 0 und lösen das Lineare Gleichungssystem A*C = [mm] \vektor{x(0) \\ y(0) \\ z(0)}
[/mm]
Gruss
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Danke für die Antwort!
Blöde Frage, ist A die Matrix die ich aus der Angabe bekomme, oder bilde ich A aus den Eigenvektoren?
Mit Eigenvektoren würde ich als Gesamtlösung das bekommen:
$ [mm] y_{all}: \bruch{6}{7}e^{-t}\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{4}{7}e^{t}\vektor{-1 \\ 1 \\ -3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{7}e^{3t}\vektor{5 \\ 2 \\ -1} [/mm] $
Mit der Angabe würde ich als Gesamtlösung das bekommen:
$ [mm] y_{all}: \bruch{-5}{3}e^{-t}\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] $ + $ [mm] 2e^{t}\vektor{-1 \\ 1 \\ -3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{-10}{3}e^{3t}\vektor{5 \\ 2 \\ -1} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Di 17.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Das mit dem t hast du richtig gemacht.
Ich weiss nicht wie du auf zwei verschiedene Lösungen kommst...also:
Die Matrix A:
A = [mm] [\vektor{1 \\ -1 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ -3},\vektor{5 \\ 2 \\ -1}]
[/mm]
Der Vektor C:
C = [mm] \vektor{C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3}}.
[/mm]
...und lösen...
PS: Du hast im ersten Post [mm] "y_{hom}" [/mm] geschrieben und beim zweiten in der Lösung [mm] "y_{all}". [/mm] Beachte, dass das gegebene Differentialgleichungssystem keine inhomogenitäten besitzt und somit die allgemeine Lösung hier das gleiche wie die Homogene ist.
Gruss
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Ich war mir nicht ganz sicher ob man für die Lösung der C's die Matrix aus der Angabe, also [mm] \pmat{ 1 & 3 & 1\\ 2 & 0 & -1\\ -1 & 2 & 2} [/mm] nimmt oder eben aus den Eigenvektoren eine Matrix bildet und mit der löst.
Deswegen hab ichs einmal mit der Angabe und einmal mit den Eigenvektoren probiert.
Mit den Eigenvektoren als Matrix erhalte ich für [mm] C_{1} [/mm] = [mm] \bruch{6}{7}, C_{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{7}, C_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7} [/mm]
und damit die Lösung $ [mm] y_{hom}: \bruch{6}{7}e^{-t}\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{4}{7}e^{t}\vektor{-1 \\ 1 \\ -3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{7}e^{3t}\vektor{5 \\ 2 \\ -1} [/mm] $
ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich war mir nicht ganz sicher ob man für die Lösung der
> C's die Matrix aus der Angabe, also [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1\\ 2 & 0 & -1\\ -1 & 2 & 2}[/mm]
> nimmt oder eben aus den Eigenvektoren eine Matrix bildet
> und mit der löst.
> Deswegen hab ichs einmal mit der Angabe und einmal mit den
> Eigenvektoren probiert.
> Mit den Eigenvektoren als Matrix erhalte ich für [mm]C_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{6}{7}, C_{2}[/mm] = [mm]\bruch{4}{7}, C_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
>
> und damit die Lösung [mm]y_{hom}: \bruch{6}{7}e^{-t}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> + [mm]\bruch{4}{7}e^{t}\vektor{-1 \\ 1 \\ -3}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{7}e^{3t}\vektor{5 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>
> ist das richtig?
Ja
FRED
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