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| Aufgabe | Löse z^2w''+z(z-1)w'-(z-1)w=0
mit dem Ansatz nach Frobenius |
Hallo Leute! Ich hoffe, der Ansatz ist so weit verbreitet, dass sich hier jemand damit auskennt...
ich habe ein Problem, die Rekursionsformel für die [mm]b_n[/mm]zu bestimmen.
Der Ansatz für w1 ist gut gelungen
[mm]w_1=sum_{n>=0} a_n z^{n+r}[/mm]
zweimal differenzieren, in die DGL einsetzen und dann nach z-Potenzen sortieren->
[mm] 0=sum_{n>=0} a_n z^{n} (n+r-1)^2 + sum_{n>=1} a_{n-1} z^{n} (n+r-2)[/mm]
ergibt eine Rekursionsformel für [mm] a_n [/mm] und dann für w1 mit:[mm] w_1(z)=sum_{n>=0} a_n z^{n+r}= z^1*a_0[/mm] (alle anderen [mm] a_n [/mm] sind 0.
soweit so gut. Jetzt die zweite Lösung [mm] w_2:
[/mm]
[mm]sum_{n>=0} b_n z^{n+r}+g z ln(z) [/mm]
wieder 2 mal diff und einsetzen ergibt dann:
[mm] 0= sum_{n>=0} b_n z^{n+1}((n+1)^2+1)+sum_{n>=0} b_n z^{n+2}(n)+z^2g[/mm]
jetzt müsste ich ja eine Indextransofrmation machen, damit überall gleiche z-Potenzen auftreten, sprich im ersten Summenterm: n->n+1
vergleich nach z_potenzen von [mm] z^2 [/mm] für n=0 gibt dann
[mm]b_{n+1}=-\frac{n}{(n+2)^2+1}b_n[/mm]
und hier bekomme ich die Formel für [mm] b_n [/mm] nicht hin =/
Laut Lösung sollte diese [mm]b_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n*n!}b_1 [/mm] lauten...
sieht jemand meinen Fehler?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Di 30.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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