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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 So 05.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Ich habe folgende Störfunktion gewählt:
y'+y= [mm] \bruch{cosx}{tanx}
[/mm]
War das klug? Im Laufe meiner Rechnung bekomme ich folgendes Integral zu lösen und das gefällt mir nicht, da ich damit nie auf das Ergebnis vom Prof. kommen werde:
[mm] \integral {\bruch{cosx}{e^{-x} C(x)} dx}
[/mm]
danke schonmal für die Mühe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
Hi!
> y'+y tanx= cosx
> Ich habe folgende Störfunktion gewählt:
> y'+y= [mm]\bruch{cosx}{tanx}[/mm]
>
> War das klug?
Hm da hast du wohl was falsch gemacht:
Du kannst nicht durch [mm] \tan(x) [/mm] teilen und dann
y'+y= [mm][mm] \bruch{cosx}{tanx} [/mm] schreiben. Dann musst du die anderen Summanden auch noch durch [mm] \tan(x) [/mm] teilen...
Ich würde allerdings einen anderen Weg vorschlagen.
y'+y * [mm] \tan(x)= \cos(x)
[/mm]
mit [mm] a_1(x)=1 [/mm] und [mm] a_0(x)=\tan(x)
[/mm]
Hier liegt eine inhomogene LD1 vor. Bestimme zunächst die allgemeine Lösung zur zugehörigen homogenen LD1
[mm] y'+y*\tan(x)=0
[/mm]
[mm] y_h=K*g(x) [/mm] mit [mm] K\in\IR [/mm] und [mm] g(x)=\exp\left(-\integral_{}^{}{\bruch{a_0(x)}{a_1(x)} dx}\right)
[/mm]
also muss du um an g(x) zu kommen folgendes Integral lösen:
[mm] \integral_{}^{}{\tan(x) dx}
[/mm]
Kommst du von hier selbst zurecht?
> danke schonmal für die Mühe
Gruß,
tedd ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 So 05.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Hey, genau denn Weg bin ich jetzt auch eingeschlagen, nur scheiterts bei mir bei dem Integral tanx...
Muss ich mir das merken, dass das Integral von tanx => -ln(cosx) ist, oder kann man das auch Rechnerisch nachweisen durch partielle Integration? Wenn ja wie?
Ich komme soweit:
[mm] \integral{tanx dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch {sinx}{cosx} dx}=\integral{sinx \bruch {1}{cosx} dx}
[/mm]
u' = sinx ; v= [mm] \bruch{1}{cosx}
[/mm]
[mm] \integral{sinx \bruch {1}{cosx} dx} [/mm] = [mm] \bruch{-cosx}{cosx}- \integral{-cosx (\bruch {1}{cosx})' dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 05.07.2009 | | Autor: | tedd |
Joa auswendig wissen muss man das nicht unbedingt, ich persönlich habe das auf einer Formelsammlung stehen und weis, dass das Integral da drauf steht.
Nachweisen kann man es aber zum Beispiel so:
[mm] \integral_{}^{}{\tan(x) dx}=\integral_{}^{}{\sin(x)*\bruch{1}{\cos(x)} dx}=-\integral_{}^{}{-\sin(x)*\bruch{1}{\cos(x)} dx}
[/mm]
Substituiere [mm] z=\cos(x)
[/mm]
dann ist [mm] \bruch{dz}{dx}=-\sin(x) \gdw dz=-\sin(x)dx
[/mm]
[mm] -\integral_{}^{}{\bruch{1}{z} dz}=-ln(|z|)+c=-ln(|\cos(x)|)+c
[/mm]
Gruß,
tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 05.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Besten dank, manchmal sehe ich die beste substitution vor lauter Integrationsmöglichkeiten nicht mehr ;)
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