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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Do 03.02.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Lösen die die Differentialgleichung
[mm] y'+\frac{3}{x}*y=9*x^5 [/mm] für x>0 mit y(1)=4 |
So mein Ansatz:
[mm] y'+\frac{3}{x}*y=9*x^5
[/mm]
[mm] \frac{dy}{dx} [/mm] = [mm] -\frac{3}{x}y [/mm] |[mm]*dx[/mm]; [mm]:y[/mm]
[mm]\frac{dy}{y} = -\frac{3}{x}dx[/mm] | [mm]\integral[/mm]
[mm]ln(y) = -3ln(x)+c [/mm]| [mm] e^{...}
[/mm]
[mm]e^{ln(y)}=e^{-3ln(x)+c} = e^{-3ln(x)}*e^c = k * e^{-3ln(x)}[/mm]
[mm]y = z(k) * e^{-3ln(x)}[/mm]
[mm]z' * e^{x^{-3}} = 9x^5[/mm] | [mm]*e^{-x^{-3}}[/mm]
[mm]z' = 9x^5*e^{-x^{-3}}[/mm] [mm] |\integral
[/mm]
z = [mm] \integral9x^5*e^{-x^{-3}}
[/mm]
Meine Fragen nun:
Frage 1: Ich habe schwirigkeiten bei dem Integral was ist da am Sinnvollsten? Integration durch Substitution oder Partielle Integration?
Frage 2: Mann kan bei der Variation der Konstanten ja irgendwie Überprüfen ob man richtig gerechnet hat, da sich dort ja was wegkürtzt,. Das habe ich nciht richtig verstanden weshalb ich es immer weglasse und hoffe keinen Fehler gemacht zu haben. Könnte mir das bitte jemand Schrit für Schritt erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Do 03.02.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
also ganz ehrlich? Selbst wenn man viel rät versteht man nicht, was du nun gerechnet bzw. heraus hast.
Es gibt hier eine Vorschaufunktion, da kannst du dir selbst mal anzeigen lassen, wie das aussieht.
Mit Varition der Konstanten ![[]](/images/popup.gif) VdR liegst du erstmal richtig.
[mm] y'= -\frac{3}{x}\cdot{}y+9\cdot{}x^5 [/mm]
Somit ist hier dein [mm] A(x)=-\bruch{3}{x} [/mm] und [mm] b(x)=9x^5. [/mm] Nun musst du A(x) integrieren, [mm] F(x)=-3*ln(x) [/mm] , einsetzen und dann hast dus schon.
Aber wie gesag, vielleicht hast du es ja auch richtig gelöst, aber man erkennt einfach nichts. Schreibs noch mal sauber auf.
Gruß
Kayle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 03.02.2011 | | Autor: | Vertax |
Mhhh nunja so haben wir das halt in der Vorlesung gelernt so aufzuschreiben. Ich kanns daher net sauberer aufschreiben also so wie wirs in der Vorlesung gemacht haben. Ich bin ja auch noch nicht fertig mit meiner Rechnung, da ich vor dem Problem stehe das Integral zu lösen:
z = $ [mm] \integral9x^5\cdot{}e^{-x^{-3}} [/mm] $
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Hallo Vertx,
> Mhhh nunja so haben wir das halt in der Vorlesung gelernt
> so aufzuschreiben. Ich kanns daher net sauberer
> aufschreiben also so wie wirs in der Vorlesung gemacht
> haben. Ich bin ja auch noch nicht fertig mit meiner
> Rechnung, da ich vor dem Problem stehe das Integral zu
> lösen:
>
> z = [mm]\integral9x^5\cdot{}e^{-x^{-3}}[/mm]
Hmm, das lässt sich so nicht explizit lösen (bzw. mit elementaren Funktionen hinschreiben)
M.E. steckt weiter oben irgendwo ein Fehler (ich habe nicht gesucht).
Das homogene System ist ja [mm]y'=\frac{-3}{x}y[/mm]
Mit TdV [mm]\frac{1}{y} \ dy \ = \ \frac{-3}{x} \ dx}[/mm]
Integration beiderseits:
[mm]\ln(|y|) \ = \ -3\ln(|x|)+c=\ln\left(\left|x^{-3}\right|\right)+c[/mm]
Also [mm]y \ = \ \tilde c\cdot{}x^{-3}[/mm]
Nun kommst du mit Vdk. auf [mm]\tilde c'(x)=9x^8[/mm]
Und das lässt sich doch wunderbar integrieren ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Do 03.02.2011 | | Autor: | Vertax |
Habs gesehn schachuzipus hab das ln beim [mm] e^{...} [/mm] verschlampt aufem blatt :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Do 03.02.2011 | | Autor: | Vertax |
So hab den blöden Fehler gefunden. Durch die Hektik aufem Blatt hab ich den ln beim [mm] e^{...} [/mm] veschlampt wodurch sich ja beides aufheben würde .....
Ok aber nichts desto trotz wäre es ganz nett wenn jemand mein Ergebniss verifizieren könnte:
[mm] y=(x^9+3)*x^{-3}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> So hab den blöden Fehler gefunden. Durch die Hektik aufem
> Blatt hab ich den ln beim [mm]e^{...}[/mm] veschlampt wodurch sich
> ja beides aufheben würde .....
>
>
> Ok aber nichts desto trotz wäre es ganz nett wenn jemand
> mein Ergebniss verifizieren könnte:
>
> [mm]y=(x^9+3)*x^{-3}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das passt!
Gruß
schachuzipus
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