DGL Doppelte Resonanz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mi 23.09.2009 | | Autor: | SirTech |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:
y''(x) + ay'(x) + by(x) = -6x * e^(-3x)
für den Fall der doppelten Resonanz. |
Ich fange an mit dem Ansatz [mm] e^{\lambda*x} [/mm] und komme dann auf
[mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] a*\lambda [/mm] + b ... weiter komme ich nicht :(
Bitte um Hilfe, es eilt sehr!
Danke vielmals!
Bitte siehe PN!
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Hallo SirTech,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung:
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> y''(x) + ay'(x) + by(x) = -6x * e^(-3x)
>
> für den Fall der doppelten Resonanz.
> Ich fange an mit dem Ansatz [mm]e^{\lambda*x}[/mm] und komme dann
> auf
>
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a*\lambda[/mm] + b ... weiter komme ich nicht :(
Doppelte Resonanz heißt ja erstmal,
daß das charakteristische Polynom eine doppelte Lösung hat.
Desweiteren ist die Lösung der homogenen DGL Teil der Störfunktion.
>
> Bitte um Hilfe, es eilt sehr!
>
> Danke vielmals!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mi 23.09.2009 | | Autor: | SirTech |
Tut mir leid, damit kann ich leider nicht wirklich viel anfangen.
Ich weiß noch immer nicht wie ich mit der Aufgabe weiter verfahren soll.
Dennoch Danke für die Antwort!
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> Tut mir leid, damit kann ich leider nicht wirklich viel
> anfangen.
> Ich weiß noch immer nicht wie ich mit der Aufgabe weiter
> verfahren soll.
> Dennoch Danke für die Antwort!
naja die charakteristische gleichung mal aufstellen und auflösen geht ja (damit hast du ja auch quasi ne bedingung für a und b). dann kannst du ja schonmal die homogene lösung aufschreiben. dann den störgliedansatz machen wie normal auch, und die koeffizientenvergleiche allgemein durchführen.
soviel ändert sich im allgemeinen fall im gegensatz zum speziellen fall nicht wirklich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 23.09.2009 | | Autor: | SirTech |
Also ich habe das Lösen mit der PQ-Formel versucht aber da kommt ja als Diskriminante [mm] (a/2)^2-b [/mm] und das finde ich dann doch sehr merkwürdig. Ich blicke gar nicht durch diese Aufgabe hindurch :(
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> Also ich habe das Lösen mit der PQ-Formel versucht aber da
> kommt ja als Diskriminante [mm](a/2)^2-b[/mm] und das finde ich dann
> doch sehr merkwürdig. Ich blicke gar nicht durch diese
> Aufgabe hindurch :(
richtig! aber du weisst, dass eine doppelte nullstelle rauskommen soll, dass heisst ja wiederum, die diskriminante muss 0 sein. mit der lösung von [mm] \lambda [/mm] machst du dann deine homogen lösung! (nicht vergessen, was zu tun ist)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 23.09.2009 | | Autor: | SirTech |
/lambda 1/2 = 0
Somit wäre mein [mm] y_0 [/mm] = [mm] (C_1 [/mm] + [mm] C_2*x) [/mm] * e^CX wobei hier [mm] e^0*X [/mm] = 1 ist und mein [mm] y_0 [/mm] = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2*x
[/mm]
Dann verfahre ich wie üblich bei der partikulären Lösung?!
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> /lambda 1/2 = 0
>
[mm] \lambda [/mm] sollte in meinen augen doch -a/2 sein? wie kommst du auf obiges ergebnis? (dein -p/2 von der pq-formel eben)
> Somit wäre mein [mm]y_0[/mm] = [mm](C_1[/mm] + [mm]C_2*x)[/mm] * e^CX wobei hier
> [mm]e^0*X[/mm] = 1 ist und mein [mm]y_0[/mm] = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*x[/mm]
>
nein, dein C (von [mm] e^{C*x}) [/mm] ist doch gegeben (siehe oben), das wird dann eingesetzt.
> Dann verfahre ich wie üblich bei der partikulären
> Lösung?!
naja das schauen wir uns dann doch eher schritt für schritt an 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 23.09.2009 | | Autor: | SirTech |
In Ordnung, ist wohl besser.
[mm] Y_0 [/mm] = [mm] (C_1 [/mm] + [mm] C_2*x) [/mm] * e^((a/2)*x) ;hoffe es ist so richtig?!
g(x) = -6x * e^(-3*x)
Da würde ich nun gar nicht wissen wie ich ansetze.
Wir haben hier eine Tabelle mit Störgliedern und darin findet sich diese Form nicht wieder :/
Also für e^(-3*x) würde ich, da ich eine doppelte Nullstelle habe, [mm] Ax^2*e^-2x [/mm] machen ...
Für -6x hätte ich jetzt keinen Vorschlag parat. Vielleich -B*6x ?
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> In Ordnung, ist wohl besser.
>
> [mm]Y_0[/mm] = [mm](C_1[/mm] + [mm]C_2*x)[/mm] * e^((a/2)*x) ;hoffe es ist so
> richtig?!
nein.. schreibe die pq formel am besten hier nochmal hin, und beschreibe uns was du mit der lösung machst
>
> g(x) = -6x * e^(-3*x)
benutze bitte geschweifte klammern, um es übersichtlicher zu machen:
g(x) = -6x * e^{-3*x} => $ g(x) = -6x * [mm] e^{-3*x} [/mm] $
>
> Da würde ich nun gar nicht wissen wie ich ansetze.
> Wir haben hier eine Tabelle mit Störgliedern und darin
> findet sich diese Form nicht wieder :/
es ist ja auch eine mischung aus 2 störgliedern! also ein produkt aus 2 dir bekannten störgliedern..
-6x ist ein polynom vom grade n, der ansatz lautet also?
der ansatz von [mm] e^x.... [/mm] lautet wie?
>
> Also für e^(-3*x) würde ich, da ich eine doppelte
> Nullstelle habe, [mm]Ax^2*e^-2x[/mm] machen ...
>
> Für -6x hätte ich jetzt keinen Vorschlag parat. Vielleich
> -B*6x ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Mi 23.09.2009 | | Autor: | SirTech |
Also:
für p habe ich a und q = b ... meine Diskriminante muss 0 sein, da doppelte Nullstelle. Somit habe ich für & = 0 raus.
Beim Ansatz bleibe ich bei meiner Form!
Würde es halt in 2 Teile gliedern und nachher wieder aufsummieren und als gesamtes Störglied verwenden, also Y_p1 + Y_p2
Y_p1 =
Y_p2 = -6Bx
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Do 24.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Lies doch nochmal was Resonanz heisst!
die rechte Seite ist Loesg der homogenen Dgl. also muss [mm] \lambda [/mm] und damit -a/2=-3 sein! daraus hast du b.
jetzt geh vor wie immer!
Gruss leduart.
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