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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 So 26.12.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen,
Ich will folgendes Problem DGL-System mit Matlab lösen.
[mm] y''=-y [/mm] (auch analytisch lösbar)
Dazu habe ich folgende Funktion geschrieben:
function err = test(h,T,y0)
%
% Eingabe: h, die Schrittweite,
% T, der Endzeitpunkt,
% y0, ein Vektor mit den Anfangswerten.
%
%
N = round(T/h);
t = zeros(1,N+1);
y = zeros(1,N+1);
v = zeros(1,N+1);
% Anfangswerte y0 und v0
y(1) = y0(1);
v(1) = y0(2);
% Matlab ode45 Loesung
[tout,yout] = ode45(f,[0 T],y0);
% Plotte Loesungen:
plot(tout,yout,'xr')
function y = sol(t,y0)
% exakte Loesung von y''(t)=-y(t), y(0)=y0(1), y'(0)=y0(2)
y = y0(1)*cos(t)+y0(2)*sin(t);
return;
function dy = f(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=dy(2);
dy(2)=-y(1);
Dazu habe ich zwei Fragen: Die Funktion sol(t,y0) ist die genaue (analytische) Lösung des Problems. Die Funktion f(t,y) ist ja das Funktionshandle, dass ode45 übergeben wird. Leider sieht mein Plott nicht korrekt aus. Was mache ich genau falsch?
Fürs plotten von Lösungen von DGL habe ich eine grunsätzliche Frage: Ich bekomme ja je nach Grösse des System eine Matrix zürick (in diesem Fall yout) worin die Lösungsvektoren stehen. Was für Lösungsvektoren sind dies, resp. von was? Es sind die Lösungsvektoren des DGL, aber wieso bekommen ich gleiche mehrere zurück? Ich habe mich mit der Matlab help versucht, ohne gross weiterzukmomen.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Danke!
Greetz
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mo 27.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hab Dein Beispiel mit Matlab R2008a nach simuliert.
> Dazu habe ich zwei Fragen: Die Funktion sol(t,y0) ist die
> genaue (analytische) Lösung des Problems. Die Funktion
> f(t,y) ist ja das Funktionshandle, dass ode45 übergeben
> wird. Leider sieht mein Plott nicht korrekt aus. Was mache
> ich genau falsch?
Folgende Änderungen habe ich vorgenommen:
1) Im ode45 Aufruf habe ich f durch @f ersetzt (Wahrscheinlich ein Tippfehler von Dir, sonst würde das ganze Beispiel nicht funktionieren.
2) In der Funktion f in der ersten Gleichung dy(1)=y(2) anstelle von dy(2) gesetzt, das ist dann die korrekte Dgl. s.u.
damit funktioniert das Beispiel und es kommen die gleichen Lösungen wie bei der exakten Lösung raus.
> Fürs plotten von Lösungen von DGL habe ich eine
> grunsätzliche Frage: Ich bekomme ja je nach Grösse des
> System eine Matrix zürick (in diesem Fall yout) worin die
> Lösungsvektoren stehen. Was für Lösungsvektoren sind
> dies, resp. von was? Es sind die Lösungsvektoren des DGL,
> aber wieso bekommen ich gleiche mehrere zurück? Ich habe
> mich mit der Matlab help versucht, ohne gross
> weiterzukmomen.
> Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Danke!
Du hast ja die Dgl. y''=-y in ein Dgl.System erster Orgnung umgewandelt.
Wenn p=y und v=y' ist lautet das äquivalente System
[mm] \br{d}{dt}\vektor{p \\ v}=\vektor{v \\ -p}
[/mm]
ode45 gibt in yout(:,1) den ersten Lösungsvektor, also p zurück und in y(:,2) den zweiten also v zurück. Jeweils an den Stellen von tout.
Hier noch der geänderte Matlab Code
< ----------------------------------------------------------------------------------- >
function err = test(h,T,y0)
%
% Eingabe: h, die Schrittweite,
% T, der Endzeitpunkt,
% y0, ein Vektor mit den Anfangswerten.
%
%
N = round(T/h);
t = zeros(1,N+1);
y = zeros(1,N+1);
v = zeros(1,N+1);
% Anfangswerte y0 und v0
y(1) = y0(1);
v(1) = y0(2);
% Matlab ode45 Loesung
[tout,yout] = ode45(@f,[0 T],y0);
% Exakte Loesung
[y]=sol(tout,y0);
% Plotte Differenz exakte Lösung - ode45 Lösung:
plot(tout,y-yout(:,1))
function y = sol(t,y0)
% exakte Loesung von y''(t)=-y(t), y(0)=y0(1), y'(0)=y0(2)
y = y0(1)*cos(t)+y0(2)*sin(t);
return;
function dy = f(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=-y(1);
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