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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL Anfangswertproblem
DGL Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:50 Mo 19.11.2007
Autor: antoni1

Aufgabe
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] y^{2}\wurzel{4 - x} [/mm]
und y(4) = 2

Hi,

habe ein Problem bei der Aufgabe und koennte da Hilfe gebrauchen.

[mm] \bruch{dy}{y^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{4 - x}dx [/mm]

[mm] \gdw \integral{y^{-2} dy} [/mm] = [mm] \integral{(4 - x)^{\bruch{1}{2}} dx} [/mm]

[mm] \gdw -\bruch{1}{y} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}(4 [/mm] - [mm] x)^{\bruch{3}{2}} [/mm] + C
[mm] \gdw [/mm] y = [mm] \bruch{3}{2(4 - x)^{\bruch{3}{2}}} [/mm] + C

Wenn ich jetzt fuer x 4 einsetze, bekomme ich ja dann im Nenner Null und das ist ja generell kein gutes Zeichen, also wundere ich mich, wo der Fehler ist.

Die Loesung ist uebrigens: y = [mm] \bruch{6}{4(4 - x)^{\bruch{3}{2}} + 3} [/mm]

Danke
Anton
        
Bezug
DGL Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:10 Di 20.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Anton,


Fast alles richtig !!

> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]y^{2}\wurzel{4 - x}[/mm]
>  und y(4) = 2
>  Hi,
>  
> habe ein Problem bei der Aufgabe und koennte da Hilfe
> gebrauchen.
>  
> [mm]\bruch{dy}{y^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{4 - x}dx[/mm]
>  
> [mm]\gdw \integral{y^{-2} dy}[/mm] = [mm]\integral{(4 - x)^{\bruch{1}{2}} dx}[/mm]
>  
> [mm]\gdw -\bruch{1}{y}[/mm] = [mm]-\bruch{2}{3}(4[/mm] - [mm]x)^{\bruch{3}{2}}[/mm] + C [daumenhoch]
>  [mm]\gdw[/mm] y = [mm]\bruch{3}{2(4 - x)^{\bruch{3}{2}}}[/mm] + C [notok]

Hier wird's falsch. Du musst mit dem c aufpassen:

[mm] $-\frac{1}{y}=-\frac{2(4-x)^{\frac{3}{2}}}{3}+c=-\frac{2(4-x)^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{3c}{3}=\frac{-2(4-x)^{\frac{3}{2}}+3c}{3}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow y=\frac{3}{2((4-x)^{\frac{3}{2}}-3c}$ [/mm]

Damit solltest du auf die Lösung kommen, habs aber nur überschlagen... ;-)


>  
> Wenn ich jetzt fuer x 4 einsetze, bekomme ich ja dann im
> Nenner Null und das ist ja generell kein gutes Zeichen,
> also wundere ich mich, wo der Fehler ist.
>  
> Die Loesung ist uebrigens: y = [mm]\bruch{6}{4(4 - x)^{\bruch{3}{2}} + 3}[/mm]
>  
> Danke
>  Anton


LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
DGL Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Di 20.11.2007
Autor: antoni1

Ja danke, klappt! :-)

Gibt es eine Regel, wann ich einfach das C stehenlassen kann, wie ich das gemacht habe und wann man das C mit ändern muss?

Danke
Bezug
                        
Bezug
DGL Anfangswertproblem: Integrationskonstante
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Di 20.11.2007
Autor: Loddar

Hallo Antoni!


Die Integrationskonstante $+ \ C$ entsteht ja beim eigentlichen Vorgang des Integrierens. Ab diesem Zeitpunkt musst Du dieses $C_$ bei weiteren Umformungen behandeln wie jede andere Variable / Größe in der Gleichung auch.


Gruß
Loddar

Bezug
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