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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Koeffizienten ai, i = 1, 2, 3, . . . in der Reihenentwicklung y(x) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a_{i} x^{i}
[/mm]
für die Lösung der Anfangswertaufgabe y'= [mm] x^{2}y+1 [/mm] , y(0) = 0 |
Ich habe keine Ahnung was man da anwenden muss und vorallem WIE?
Wenn es geht mal Schritt für Schritt erklären, so dass ich bei der nächsten Aufgabe nicht wieder hier um Hilfe schreie sondern es selber lösen kann. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Koeffizienten ai, i = 1, 2, 3, . . . in
> der Reihenentwicklung y(x) = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i} x^{i}[/mm]
>
> für die Lösung der Anfangswertaufgabe y'= [mm]x^{2}y+1[/mm] , y(0)
> = 0
> Ich habe keine Ahnung was man da anwenden muss und
> vorallem WIE?
>
> Wenn es geht mal Schritt für Schritt erklären, so dass
> ich bei der nächsten Aufgabe nicht wieder hier um Hilfe
> schreie sondern es selber lösen kann. Danke
Die Funktion y(x) = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_{i} x^{i}[/mm] soll Lösung Deines AWPs sein, es gilt also
y'= $ [mm] x^{2}y+1 [/mm] $ , y(0) = 0
y(0) = 0 liefert schon mal [mm] a_0 [/mm] = 0
Es ist y'(x) = [mm]\summe_{i=1}^{\infty}i a_{i} x^{i-1}[/mm] , also haben wir (eingehen in die DGL):
[mm]\summe_{i=1}^{\infty}i a_{i} x^{i-1}[/mm] = [mm] x^2[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_{i} x^{i}[/mm] +1= [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_{i} x^{i+2}[/mm] +1
Durch Koeffizientenvergleich bestimme nun die [mm] a_i
[/mm]
FRED
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Hallo Fred und danke für die schnelle Antwort,
die Sache wird mir etwas klarer jedoch noch immer nicht ganz klar :)
1. Frage: Wieso ist die Ableitung von y(x) = $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}i a_{i} x^{i-1} [/mm] $ und nicht $ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}i a_{i} x^{i-1} [/mm] $... ich meine wieso ist die Summe nicht von 0 bis unendlich wie sie ja auch war, wieso nun 1 bis unendlich, kann es mir mit dem abgeleitetem nicht zusammenfügen?
2. Frage: Es tut mir leid aber wie funkzt der Koeffizientenvergleich? Bsp.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred und danke für die schnelle Antwort,
>
> die Sache wird mir etwas klarer jedoch noch immer nicht
> ganz klar :)
>
> 1. Frage: Wieso ist die Ableitung von y(x) =
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}i a_{i} x^{i-1}[/mm] und nicht
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}i a_{i} x^{i-1} [/mm]... ich meine wieso
> ist die Summe nicht von 0 bis unendlich wie sie ja auch
> war, wieso nun 1 bis unendlich, kann es mir mit dem
> abgeleitetem nicht zusammenfügen?
Hatten wir nicht festgestellt: [mm] a_0 [/mm] = 0 ????? Doch !!!
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> 2. Frage: Es tut mir leid aber wie funkzt der
> Koeffizientenvergleich? Bsp.
Angenommen es gilt für 2 Potenzreihen
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_ix^i= \summe_{i=0}^{\infty}b_ix^i
[/mm]
für alle x in einem Intervall I mit 0 [mm] \in [/mm] I. Dann: [mm] a_i [/mm] = [mm] b_i [/mm] für i = 0,1,2, ..
FRED
>
> Danke
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Ja stimmt [mm] a_{0} [/mm] = 0....
das gilt dann sowohl für die rechte als auch für die linke Seite?
Koeffizientenvergleich: an diesem Beispiel sieht es dann wie folgt aus?
[mm] a_{1} [/mm] + [mm] 2a_{2}x [/mm] + [mm] 3a_{3}x^{2} [/mm] + [mm] 4a_{4}x^{3} [/mm] = [mm] a_{1}x^{3} [/mm] + [mm] a_{2}x^{4} [/mm] + [mm] a_{3}x^{5} [/mm] + [mm] a_{4}x^{6} [/mm] ..... ?
[mm] a_{1}=1
[/mm]
[mm] 2a_{2}x=0----> a_{2}=0
[/mm]
[mm] 3a_{3}x^{2}=a_{0}x^{2}----->a_{3}=0
[/mm]
[mm] 4a_{4}x^{3}=a_{1}x^{3}------>a_{4}=1/4
[/mm]
ist es einigermassen richtg?
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Hallo Danielt23,
> Ja stimmt [mm]a_{0}[/mm] = 0....
>
> das gilt dann sowohl für die rechte als auch für die
> linke Seite?
>
Ja.
> Koeffizientenvergleich: an diesem Beispiel sieht es dann
> wie folgt aus?
>
> [mm]a_{1}[/mm] + [mm]2a_{2}x[/mm] + [mm]3a_{3}x^{2}[/mm] + [mm]4a_{4}x^{3}[/mm] = [mm]a_{1}x^{3}[/mm] +
> [mm]a_{2}x^{4}[/mm] + [mm]a_{3}x^{5}[/mm] + [mm]a_{4}x^{6}[/mm] ..... ?
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> [mm]a_{1}=1[/mm]
> [mm]2a_{2}x=0----> a_{2}=0[/mm]
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> [mm]3a_{3}x^{2}=a_{0}x^{2}----->a_{3}=0[/mm]
> [mm]4a_{4}x^{3}=a_{1}x^{3}------>a_{4}=1/4[/mm]
>
> ist es einigermassen richtg?
Das ist sogar sehr richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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