DGL Anfangsbedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 So 19.10.2008 | | Autor: | ehrmann |
| Aufgabe | Ein Massepunkt der Masse m bewege sich geradlinig unter dem Einfluss einer konstanten Kraft F mit der Geschwindigkeit v(t).
Der Bewegung wirke die zur Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft
R = -r v(t), r>0,
konstanter Reibungskoeffizient r, entgegen.
Wegen Masse * Beschleunigung = Kraft lautet die Bewegungsgleichung für den Massenpunkt: mv'= F + R, d.h.
mv' + rv = F .
Lösen Sie die Differentialgleichung unter der Anfangsbedingung v(0) = 0 und berechnen Sie die Gernzgeschwindigkeit des Massenpunktes für t [mm] \to \infty. [/mm] |
Hallo,
ich habe den Studiengang gewechselt und bin nun im dritten Semester eingestuft worden.
Leider bin ich in Mathe keine helle Leuchte und habe nun die, für mich schwere, Aufgabe, oben Genannte zu lösen und nächste Woche abzugeben.
Mein Problem ist, dass ich keinen Lösungsansatz finde.
Ich möchte hier definitiv nicht die Aufgabe vorgerechnet bekommen.
Mir wäre sehr geholfen, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich an so eine Aufgabe rangehe, bzw. was ich tun muss.
Dann werde ich auch eigene Lösungsvorschläge posten.
Danke im Voraus für die Hilfe.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 So 19.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstens umformen in
[mm] v'(t)+r/m*v_F/m
[/mm]
damit klar wird, was Konstanten sind: R=r/m a=F/m
v'+R*v=a
das ist ne lineare Dgl mit konstanten Koef.
erst die homogene Dgl loesen allgemein:
also v'+R*v=0 bzw. v'=-R*v
dann eine spezielle loesung der inhomogenen raten ist leicht! die dazu addieren fertig!
die konstante Endgeschw. hat man erreicht wenn v'=0
also Antriebskraft=Reibungskraft.
Kommst du damit weiter?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 So 19.10.2008 | | Autor: | ehrmann |
Woher weiß ich denn dass R=r/m a=F/m ?
Oder wird das einfach festgelegt?
Meine Lösungsversuch:
v(t) = [mm] v_{h}(t) [/mm] + v'_{p}(t)
a) Trennung der Variablen
v'+ Rv = 0
[mm] v_{h}(t) [/mm] = [mm] C(t)e^{-Rt}, [/mm] C beliebige Konstante
b) Variation der Konstanten
v(t) = [mm] C(t)e^{-Rt}
[/mm]
v'(t) = [mm] C'(t)e^{-Rt} [/mm] - R [mm] C(t)e^{-Rt}
[/mm]
einsetzen:...
C' = a [mm] e^{Rt}
[/mm]
C = [mm] \integral_{}^{}{a e^{Rt} dt} [/mm] = A(t) + D, D beliebige Konstante
v(t)= (A(t) + D) [mm] e^{-Rt}
[/mm]
Kann man das so gelten lassen?
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Hallo ehrmann,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Woher weiß ich denn dass R=r/m a=F/m ?
> Oder wird das einfach festgelegt?
So isses, das wird einfach festgelegt.
>
> Meine Lösungsversuch:
>
> v(t) = [mm]v_{h}(t)[/mm] + v'_{p}(t)
>
> a) Trennung der Variablen
>
> v'+ Rv = 0
>
> [mm]v_{h}(t)[/mm] = [mm]C(t)e^{-Rt},[/mm] C beliebige Konstante
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Variation der Konstanten
>
> v(t) = [mm]C(t)e^{-Rt}[/mm]
> v'(t) = [mm]C'(t)e^{-Rt}[/mm] - R [mm]C(t)e^{-Rt}[/mm]
>
> einsetzen:...
>
> C' = a [mm]e^{Rt}[/mm]
> C = [mm]\integral_{}^{}{a e^{Rt} dt}[/mm] = A(t) + D, D beliebige
> Konstante
>
Die Stammfunktion des Integranden muß schon ermittelt werden.
>
> v(t)= (A(t) + D) [mm]e^{-Rt}[/mm]
>
> Kann man das so gelten lassen?
>
Die Lösung muß exakt angeben werden, d.h. A(t) und D sind genau bestimmt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 19.10.2008 | | Autor: | ehrmann |
> Die Stammfunktion des Integranden muß schon ermittelt
> werden.
also muss ich a wieder zurück substituieren?
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Hallo ehrmann,
>
> > Die Stammfunktion des Integranden muß schon ermittelt
> > werden.
>
> also muss ich a wieder zurück substituieren?
Nein.
Es kann eine Stammfunktion [mm]A\left(t\right)[/mm] angegeben werden,
so daß [mm]A'\left(t\right)=ae^{Rt}[/mm] ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Mo 20.10.2008 | | Autor: | ehrmann |
C= [mm] \integral_{}^{}{a e^{Rt} dt}= \bruch{a}{R} e^{Rt} [/mm] + D, D beliebige Konstante
> Die Lösung muß exakt angeben werden, d.h. A(t) und D sind genau bestimmt.
A(t) habe ich jetzt hoffentlich richtig, wie komme ich denn an D?
Ist denn die Herangehensweise die richtige, oder gibt es noch eine andere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen?
Ich dachte ich schaffe es allein.
Dem Anschein nach benötige ich doch mehr Hilfe als erwartet. :o(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mo 20.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du jetzt C(t) in die algemeine Loesung einsetzt, hast du die allgemeine Loesung.
Dann musst du aber noch aus der anfangsbed. v(0)=0 die konstante bestimmen.
Statt der Variation der Konstanten haettw man hier schnellr als spezielle Loesung v=const raten koennen und einsetzen v= k v'=0 einsetzen ergibt v=a als eine Loesung der inhomogenen gleichung.
Du hast dann also allgemein :
[mm] v=C*e^{-Rt}+a [/mm] und musst noch C bestimmen aus der anfangsbed.
Ich hatte R und a nur aus Bequemlichkeit eingefuehrt, um Schreibarbeit fuer dich und mich zu sparen.
Du solltest das also am ende wieder einsetzen oder die def von R und a nochmal dazuschreiben.
(das ist nicht ne echte "substitution" sondern wirklich nur ne abgekuerzte Schreibweise, um das wesentliche an der DGL zu sehen.
Gruss leduart
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