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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Kari |
| Aufgabe | | Für die DGL [mm] y^{(4)} [/mm] + [mm] 4y^{(2)} [/mm] + 4y = 0 bestimme man ein Fundamentalsystem sowohl für die komplexwertigen als auch für die reelen Lösungen. |
Moin!
Leider komme ich bei der obigen Aufgabe nicht weiter.
Ich habe den Ansatz
[mm] y(x)=e^{\lambda x} [/mm] gewählt
Damit bekomme ich dann ein charaktistisches Polynom, da so aussieht
[mm] \lambda^{4} [/mm] + [mm] 4\lambda^{2} [/mm] + 4 = 0
Diese Gleichung hat aber keine reellen Lösungen.
Daher habe ich dann [mm] z=\lambda^{2} [/mm] gesetzt.
Die Gleichung lautet dann
[mm] z^{2} [/mm] + 4z + 4 = 0
Lösung hier ist -2
Also ist
[mm] \lambda_{1}= \wurzel{2}*i
[/mm]
[mm] \lambda_{2}= [/mm] - [mm] \wurzel{2}*i
[/mm]
Mein Fundamentalsystem sieht also so aus
y(x) = [mm] a_0*e^{\wurzel{2}*i} [/mm] + [mm] a_1*e^{-\wurzel{2}*i}
[/mm]
Weiter komme ich leider nicht. Wie finde ich denn jetzt reelle Lösungen? Oder gibt es wirklich keine?
Reicht diese Lösungen? Irgendwie durchschaue ich das System noch nicht so ganz.
Es wäre super, wenn mir einer von euch da weiterhelfen könnte.
Vielen Dank im Voraus
Kari
PS: Ich habe diese Frage nirgendwoanders gepostet.
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Hallo Kari,
hast du evtl
> [mm]\lambda^{4} + 4\lambda^{2} + 4[/mm] hier [mm]= 0[/mm]
was vergessen?
Gruß
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Kari |
Mhh.. ich habe folgendes gerechnet
y(x) = [mm] e^{\lambda x}
[/mm]
y'= [mm] \lambda e^{\lambda x}
[/mm]
y''= [mm] \lambda^{2}e^{\lambda x}
[/mm]
y''' = [mm] \lambda^{3}e^{\lambda x}
[/mm]
y'''' = [mm] \lambda^{4}e^{\lambda x}
[/mm]
Damit ist dann doch
y'''' + 4y'' + 4y = 0
[mm] \lambda^{4}e^{\lambda x} [/mm] + [mm] 4\lambda^{2} e^{\lambda x} [/mm] + [mm] 4e^{\lambda x} [/mm] = 0
Da [mm] e^{\lambda x}\not= [/mm] 0
folgt dann doch
[mm] \lambda^{4} [/mm] + [mm] 4\lambda^{2} [/mm] + 4 = 0
Oder habe ich da einen Rechenfehler?
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Sieht doch ganz gut aus, nur dein Fundamentalsystem sollte vielleicht noch ein paar x'e enthalten :)
[mm]y(x) = a_0\cdot{}e^{\wurzel{2}\cdot{}i x} + a_1\cdot{}e^{-\wurzel{2}\cdot{}i x} [/mm]
Wenn du jetzt noch an die ![[]](/images/popup.gif) Eulerformel denkst, bekommst du auch einen Realteil...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Kari |
Hey, vielen Dank für Deine Antwort!
An die Eulerformel hab ich gar nicht mehr gedacht :(
Dann kann ich also
y(x) = [mm] a_0e^{\wurzel{2} i x} [/mm] + [mm] a_1 e^{-\wurzel{2} i x} [/mm]
umformen zu
y(x) = [mm] a_0*( cos(\wurzel{2}*x) [/mm] + [mm] i*sin(\wurzel{2}*x) [/mm] ) + [mm] a_1*( cos(-\wurzel{2}*x) [/mm] + [mm] i*sin(-\wurzel{2}*x))
[/mm]
und dann habe ich als Realteil
[mm] a_0*( cos(\wurzel{2}*x) [/mm] + [mm] a_1*( cos(-\wurzel{2}*x)
[/mm]
und als Imaginärteil
[mm] i*(a_0*sin(\wurzel{2}*x) [/mm] + [mm] a_1*sin(-\wurzel{2}*x))
[/mm]
Aber die beiden bilden dann doch gemeinsam ein Fundamentalsystem, oder?
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Würde ich schon so sehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Kari |
Prima!
Danke für Deine Hilfe!
LG Kari
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