DGL 3. Ordnung (störfunktion) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Inhomogene Lösung für : y''' -16y'' +128y' = 12769x * [mm] e^x [/mm] + 384 |
Hi, ich hab ein Problem zur folgender DGL 3. ter Ordnung und zwar habe ich schwierigkeiten auf den Ansatz der Störfunktion zu kommen.
y''' -16y'' +128y' = 12769x * [mm] e^x [/mm] + 384
die charakteristische Lösung bzw. Nullstellen lauten
[mm] \lambda''' [/mm] - [mm] 16\lambda'' [/mm] + [mm] 128\lambda [/mm] = 0
mit Hornerschema dann auf:
[mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] 16\lambda [/mm] + 128
[mm] \lambda0 [/mm] = 0 (durch eraten)
[mm] \lambda1 [/mm] = 8 + 8i (durch PQ Formel)
[mm] \lambda2 [/mm] = 8 - 8i
Allgemeine Lösung lautet somit: Yh = C1*e^0x + C2*8*cos(8x) + C3*8*sin(8x)
OK nun aber zur inhomogenen DGL bzw. Störfunktion:
12769x * [mm] e^x [/mm] + 384
kann ich ja so umschreiben das es eher nach Polynom und e-Funktion ausschaut oder?:
12769x + 384 * [mm] e^x [/mm]
dann hätte ich doch 2 Störfunktionen:
g1(x) = 12769x + 384
und
g2(x)= [mm] e^x
[/mm]
also gilt: Yp = Yp1 * Yp2
Jetzt bin ich mir unsicher, kann das stimmen ?:
Yp1 = Ax + B (oder muss das lauten [mm] Ax^3 [/mm] + [mm] Bx^2 [/mm] ? a0=0 und a1 [mm] \not= [/mm] 0)
Y'p1 = A
Y''p1 = 0
Y'''p1 = 0
jedenfalls wäre ja
Yp2 = C * [mm] e^x [/mm] (weil c=1 keine Lösung der charak. Gleichung ist)
Y'p2 = C * [mm] e^x
[/mm]
Y''p2 = C * [mm] e^x
[/mm]
Y'''p2 = C * [mm] e^x
[/mm]
Yp= (Ax+B+C) * [mm] e^x [/mm] WÄRE DAS JETZT SO RICHTIG mit der speziellen Lösung????
Vielen Dank im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Inhomogene Lösung für : y''' -16y'' +128y' = 12769x * [mm]e^x[/mm] +
> 384
> Hi, ich hab ein Problem zur folgender DGL 3. ter Ordnung
> und zwar habe ich schwierigkeiten auf den Ansatz der
> Störfunktion zu kommen.
>
> y''' -16y'' +128y' = 12769x * [mm]e^x[/mm] + 384
>
> die charakteristische Lösung bzw. Nullstellen lauten
>
> [mm]\lambda'''[/mm] - [mm]16\lambda''[/mm] + [mm]128\lambda[/mm] = 0
>
> mit Hornerschema dann auf:
>
> [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]16\lambda[/mm] + 128
>
> [mm]\lambda0[/mm] = 0 (durch eraten)
> [mm]\lambda1[/mm] = 8 + 8i (durch PQ Formel)
> [mm]\lambda2[/mm] = 8 - 8i
>
> Allgemeine Lösung lautet somit: Yh = C1*e^0x + C2*8*cos(8x)
> + C3*8*sin(8x)
>
> OK nun aber zur inhomogenen DGL bzw. Störfunktion:
> 12769x * [mm]e^x[/mm] + 384
> kann ich ja so umschreiben das es eher nach Polynom und
> e-Funktion ausschaut oder?:
>
> 12769x + 384 * [mm]e^x[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Da hast du die Operationen Addition und Multiplikation
einfach miteinander vertauscht ...
> dann hätte ich doch 2 Störfunktionen:
> g1(x) = 12769x + 384
> und
> g2(x)= [mm]e^x[/mm]
>
> also gilt: Yp = Yp1 * Yp2 ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Das ist ja noch schlimmer - oder hast du gewisse
Klammern eingespart, die da irgendwo noch
stehen sollten ?
> Jetzt bin ich mir unsicher, kann das stimmen ?
Ich bin mir - ohne die Rechnungen im Detail über-
prüft zu haben, ziemlich sicher, dass das nicht
stimmen kann ...
> Yp1 = Ax + B (oder muss das lauten [mm]Ax^3[/mm] + [mm]Bx^2[/mm] ? a0=0
> und a1 [mm]\not=[/mm] 0)
> Y'p1 = A
> Y''p1 = 0
> Y'''p1 = 0
>
> jedenfalls wäre ja
>
> Yp2 = C * [mm]e^x[/mm] (weil c=1 keine Lösung der charak.
> Gleichung ist)
> Y'p2 = C * [mm]e^x[/mm]
> Y''p2 = C * [mm]e^x[/mm]
> Y'''p2 = C * [mm]e^x[/mm]
>
> Yp= (Ax+B+C) * [mm]e^x[/mm] WÄRE DAS JETZT SO RICHTIG mit der
> speziellen Lösung????
Wenn du eine vermeintliche Partikulärlösung zu
haben denkst, kannst du sie ja durch Einsetzen
überprüfen !
LG Al-Chw.
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oops nein da sind keine Klammern.
also wäre meine Störfunktion einfach nur g(x) = 12769x * [mm] e^x [/mm] + 384
und der Ansatz würde damit lauten:
[mm] (Ax+B)*e^x+Cx [/mm]
[es gilt doch: Yp=Yp1+Yp2]
oder?
aber danke schonmal für deine hinweise!
Allgemeine Lösung lautet korrigiert übrigens:
Yh = C1 + e^(8x) * (C2⋅8⋅cos(8x)+C3⋅8⋅sin(8x))
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Hallo superkato,
> oops nein da sind keine Klammern.
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> also wäre meine Störfunktion einfach nur g(x) = 12769x *
> [mm]e^x[/mm] + 384
> und der Ansatz würde damit lauten:
>
> [mm](Ax+B)*e^x+Cx[/mm]
So isses.
>
> [es gilt doch: Yp=Yp1+Yp2]
>
> oder?
>
> aber danke schonmal für deine hinweise!
>
> Allgemeine Lösung lautet korrigiert übrigens:
>
> Yh = C1 + e^(8x) *
> (C2⋅8⋅cos(8x)+C3⋅8⋅sin(8x))
>
[mm]Y_{h}\left(x\right)=C_{1}+e^{8x}*\left( \ C_{2}*\cos\left(8x\right)+C_{3}*\sin\left(8x\right) \ \right)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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$ [mm] (Ax+B)\cdot{}e^x+Cx [/mm] $
und die erste Ableitung wäre ?  irgendwie steh ich gerade auf dem Schlauch.
u'*v+v'*u für $ [mm] (Ax+B)\cdot{}e^x
[/mm]
und Cx => C
dann wäre das doch:
u' von (Ax+B) => A
v' von e^(x) => e^(x)
Cx => C
ergibt A*e^(x)+C
oder?
vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo superkato,
> [mm](Ax+B)\cdot{}e^x+Cx[/mm]
>
> und die erste Ableitung wäre ? irgendwie steh ich
> gerade auf dem Schlauch.
>
> u'*v+v'*u für $ [mm](Ax+B)\cdot{}e^x[/mm]
>
> und Cx => C
>
> dann wäre das doch:
> u' von (Ax+B) => A
> v' von e^(x) => e^(x)
> Cx => C
>
> ergibt A*e^(x)+C
>
> oder?
Die Ableitung von [mm]\left(Ax+B\right)e^{x}[/mm] ergibt sich zu:
[mm]\left( \ \left(Ax+B\right)*e^{x} \ \right)'=\left(Ax+B\right)'*e^{x}+\left(Ax+B\right)*\left(e^{x}\right)'[/mm]
>
> vielen Dank für eure Hilfe!
>
>
>
Gruß
MathePower
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also bekomm ich raus für die Ableitungen:
[mm] Yp=(Ax+B)*e^x [/mm] + Cx
[mm] Yp'=(Ax+A+B)*e^x [/mm] + C
[mm] Yp''=(Ax+2A+B)*e^x
[/mm]
[mm] Yp'''=(Ax+3A+B)*e^x
[/mm]
ist das so richtig?
jednefalls wenn ich das dann in die DGL einsetze und die Terme zusammenfasse kommt bei mir raus
[mm] (113Ax+99A+113B)*e^x+C [/mm] = [mm] 12769x*e^x [/mm] +384
wie gehe ich jetzt weiter vor? kann ich irgendwie das [mm] e^x [/mm] weg kürzen ? Ich sehe da jetzt nichts :(
wie komme ich denn auf das Gleichungssystem um die Werte für Ax A B C zu kommen bzw. eine Möglichkeit für ein Koeffizientenvergleich?
Wäre super wenn ihr mir da noch helfen könntet!
LG
Anja
Edit:
Idee mit Koeffizientenvergleich:
[mm] (113Ax+99A+113B)*e^x+C [/mm] = [mm] 12769x*e^x [/mm] +384
c=> 384 ?
[mm] (113Ax+99A+113B)*e^x [/mm] = [mm] 12769x*e^x [/mm] ?
man kann sich ja dann noch denken:
(133Ax + 99A + 113B) [mm] *e^x [/mm] = 0 + 12769x [mm] *e^x
[/mm]
dann wären 99A+113B = 0
und
113Ax = 12769x ?
=> A=113
eingesetzt oben in 99A+113B = 0
99*113+133B=0
B=-99
damit wäre Yp= [mm] Yp=(133x-99)*e^x [/mm] + 384x
y(x)=Yh+Yp
y(x)= C1+e^(8x)*(C2*sin(8x)+C3*cos(8x)) + [mm] (133x-99)*e^x [/mm] + 384x
wäre das eine Möglichkeit?
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Hallo superkato,
> also bekomm ich raus für die Ableitungen:
>
> [mm]Yp=(Ax+B)*e^x[/mm] + Cx
> [mm]Yp'=(Ax+A+B)*e^x[/mm] + C
> [mm]Yp''=(Ax+2A+B)*e^x[/mm]
> [mm]Yp'''=(Ax+3A+B)*e^x[/mm]
>
> ist das so richtig?
>
> jednefalls wenn ich das dann in die DGL einsetze und die
> Terme zusammenfasse kommt bei mir raus
>
> [mm](113Ax+99A+113B)*e^x+C[/mm] = [mm]12769x*e^x[/mm] +384
Hier muß es doch heißen:
[mm](113Ax+99A+113B)*e^x+\red{128}C = 12769x*e^x +384[/mm]
>
> wie gehe ich jetzt weiter vor? kann ich irgendwie das [mm]e^x[/mm]
> weg kürzen ? Ich sehe da jetzt nichts :(
Vergleiche jetzt [mm]113Ax+99A+113B[/mm] mit [mm]12769x[/mm]
und [mm]128C[/mm] mit [mm]384[/mm], woraus dann durch Koeffizientenvergleich
die Konstanten A,B,C folgen.
>
> wie komme ich denn auf das Gleichungssystem um die Werte
> für Ax A B C zu kommen bzw. eine Möglichkeit für ein
> Koeffizientenvergleich?
>
> Wäre super wenn ihr mir da noch helfen könntet!
>
> LG
> Anja
>
> Edit:
>
> Idee mit Koeffizientenvergleich:
>
> [mm](113Ax+99A+113B)*e^x+C[/mm] = [mm]12769x*e^x[/mm] +384
>
> c=> 384 ?
>
> [mm](113Ax+99A+113B)*e^x[/mm] = [mm]12769x*e^x[/mm] ?
>
> man kann sich ja dann noch denken:
>
> (133Ax + 99A + 113B) [mm]*e^x[/mm] = 0 + 12769x [mm]*e^x[/mm]
>
> dann wären 99A+113B = 0
>
> und
>
> 113Ax = 12769x ?
>
> => A=113
>
> eingesetzt oben in 99A+113B = 0
>
> 99*113+133B=0
>
> B=-99
>
> damit wäre Yp= [mm]Yp=(133x-99)*e^x[/mm] + 384x
Das stimmt nicht ganz:
[mm]Y_{p}\left(x\right) =(133x-99)*e^{x} + \red{3}x[/mm]
>
> y(x)=Yh+Yp
>
> y(x)= C1+e^(8x)*(C2*sin(8x)+C3*cos(8x)) + [mm](133x-99)*e^x[/mm] +
> 384x
>
>
>
> wäre das eine Möglichkeit?
Das ist genau das Vorgehen, was ich etwas weiter oben beschrieben habe.
Demnach lautet die Lösung der DGL etwas anders:
[mm]y\left(x\right)= C_{1}+e^{8x}*\left( \ C_{2}*sin(8x)+C_{3}*cos(8x) \ \right) + \left(133x-99\right)*e^{x} + \red{3}x[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Fr 26.06.2009 | | Autor: | superkato |
ui suuupiii!!! Danke!
dann lag ich ja garnicht so falsch. Ich hab da noch eine andere Frage am laufen wegen dem Ansatz, vielleicht kannst du mir da auch helfen wenn du Zeit und Lust hast.
Gruß,
Anja
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