DGL 3. Ordnung, \lambda < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Di 21.10.2008 | | Autor: | ehrmann |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der homogenen DGL.
(b) y''' - 4y'' - 3y' + 18y = 0 |
Also durch probieren komme ich auf [mm] \lambda_1 [/mm] = 3
Durch Polynomdivision von [mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] 4\lambda^2 [/mm] - [mm] 3\lambda [/mm] + 18 : x-3 = [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] -6
dann mit der p/q Formel erhalte ich [mm] \lambda_2 [/mm] = 3 und [mm] \lambda_3 [/mm] = -2.
Sind [mm] \lambda_12 [/mm] ein und das selbe, oder muss ich das so aufschreiben?
Also heißt die allgemeine Lösung dann:
y = [mm] C_1 e^{3x} [/mm] + [mm] C_2 e^{-2} [/mm] ?
Oder ist mit den zwei [mm] \lambda [/mm] anders zu verfahren?
Woher weiß ich, dass es sich evtl. um mehrfach reele Lösungen handelt und nicht, dass ich durch ausprobieren schon zufällig eine einfache reele Lösung gefunden habe, die dann später noch einmal als Lösung auftaucht?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Di 21.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ehrmann!
Da es sich bei [mm] $\lambda_{1,2} [/mm] \ = \ 3$ um eine doppelte Nullstelle handelt (neben [mm] $\lambda_3 [/mm] \ = \ -2$ ), lautet die allgemeine Lösung:
$$y \ = \ [mm] C_1*e^{3x}+C_2*\red{x}*e^{3x}+C_3*e^{-2x}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Di 21.10.2008 | | Autor: | ehrmann |
Wenn ich jetzt aber in die andere Richtung probiert hätte, und zuerst auf -2 gestoßen wäre, dann hätte ich -2 als doppelte Nullstelle gehabt, oder?
Ich habe es gerade noch einmal durchgerechnet.
Es kommt dann trotzdem nur einmal -2 und zweimal 3 heraus.
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