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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 3.Ordnung
DGL 3.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 3.Ordnung: Nullstellen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Mo 20.10.2008
Autor: ehrmann

Aufgabe
Lösen Sie die folgende homogene lineare DGL 3. Ordnung.
a) y''' - 7y' + 6y = 0

Wie bereits in einer anderen Frage erwähnt bin ich keine helle Mathe-Leuchte.

Ich gehe wie folgt an die Aufgabe:

y''' - 7y' + 6y = 0

[mm] \lambda^{3} [/mm] - [mm] 7\lambda [/mm] + 6 = 0

Das [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 erkenne sogar ich!

Aber wie komme ich auf die anderen [mm] \lambda [/mm] ?

Bei einer DGL 2.Ordnung würde ich es über
[mm] \lambda_{12} [/mm] = [mm] -\bruch{p}{2}\pm \wurzel{\bruch{p^2}{2}-q} [/mm]
machen.

Aber bei 3. Ordnung?

-------------------------------------------------------------------------
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
DGL 3.Ordnung: Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Mo 20.10.2008
Autor: Loddar

Hallo ehrmann!


Mit der ermittelten Nullstelle [mm] $\lambda_1 [/mm] \ = \ 1$ hast Du doch bereits die "halbe Miete" für die restlichen Nullstellen.

Führe nun die MBPolynomdivision [mm] $\left(\lambda^3-7*\lambda+6\right) [/mm] \ : \ [mm] \left(\lambda-1\right)$ [/mm] durch. Und Du erhältst nunmehr einen quadratischen Term, auf welchen Du die MBp/q-Formel anwenden kannst.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
DGL 3.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Mo 20.10.2008
Autor: ehrmann

Danke für die schnelle Antwort.
Ist die Polynomdivision der einzige Weg, oder gibt es Alternativen?

Bezug
                        
Bezug
DGL 3.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Mo 20.10.2008
Autor: Herby

Hallo Ehrmann,

> Danke für die schnelle Antwort.
>  Ist die Polynomdivision der einzige Weg, oder gibt es
> Alternativen?
>  

es gibt als Alternative die []Cardanische Formel <<-- click it


Liebe Grüße
Herby
Bezug
                                
Bezug
DGL 3.Ordnung: ohne probieren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Mo 20.10.2008
Autor: ehrmann

Die gängigere Variante ist die aber die Polynomdivision, oder?

Wenn ich nun nicht durch probieren auf eine Nullstelle komme, das kann ja auch mal vorkommen, was mache ich dann?

Dividiere ich dann einfach mal mit z.B. x+2, und schaue was passiert?
Bezug
                                        
Bezug
DGL 3.Ordnung: oder Iteration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Mo 20.10.2008
Autor: Loddar

Hallo ehrmann!


> Die gängigere Variante ist die aber die Polynomdivision, oder?

[ok] Yep!

  
> Wenn ich nun nicht durch probieren auf eine Nullstelle
> komme, das kann ja auch mal vorkommen, was mache ich dann?
>  
> Dividiere ich dann einfach mal mit z.B. x+2, und schaue was
> passiert?  

Warum ausgerechnet damit? Das ist doch Willkür und bringt Dich nicht weiter ...

In der regel sollte man schon (mind.) eine der Nullstellen druch Probieren ermitteln können. Sollte es keine ganzzahlige Nullstelle geben, bleibt einem wohl doch nur Cardano oder gar Näherungsverfahren wie z.B. das MBNewton-Verfahren.


Gruß
Loddar

Bezug
                        
Bezug
DGL 3.Ordnung: weiteres Probieren
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:33 Mo 20.10.2008
Autor: Loddar

Hallo ehrmann!


Man kann natürlich nach weiteren Nullstellen durch Probieren herausfinden.

In diesem Falle hast Du sogar Glück, da alle 3 Nullstellen ganzzahlig sind.


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
DGL 3.Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Mo 20.10.2008
Autor: Herby

Hallo,

>  
> Bei einer DGL 2.Ordnung würde ich es über
> [mm]\lambda_{12}[/mm] = [mm]-\bruch{p}{2}\pm \wurzel{\bruch{p^2}{2}-q}[/mm]
>  

Es muss heißen:

[mm] \lambda_{1,2}=-\bruch{p}{2}\pm \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q}=-\bruch{p}{2}\pm \wurzel{\bruch{p^2}{\red{4}}-q} [/mm]


Lg
Herby
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