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| Aufgabe | Ein Teilchen der Masse m bewegt sich reibungsfrei in der xy Ebene unter der Wirkung der Kraft
F = - D r
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie die Gleichungen. |
Auch wenn die Frage aus der Physik ist, hoffe ich hier richtig zu sein. Geht mir ja um den mathematischen Aspekt. :)
[mm] \vec F = - D * \vec r
[/mm]
[mm] \vec a * m = - D * \vec r
[/mm]
[mm] m* \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} $ = -D * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]\bruch{D}{m} := \varphi^2[/mm]
[mm]x'' + \varphi^2 * x = 0[/mm]
[mm]y'' + \varphi^2 * y = 0[/mm]
Ansatz:
[mm]
x(t) = e^{\alpha * t}
[/mm]
[mm]
\Rightarrow x''(t) = \alpha^2 * e^{\alpha * t}
[/mm]
[mm]
\Rightarrow e^{\alpha * t} * (\alpha^2 + \varphi^2)
[/mm]
[mm]
\alpha_1 = i * \varphi
[/mm]
[mm]
\alpha_2 = -i * \varphi
[/mm]
[mm]
e^{\alpha_1*t} = \cos (\varphi*t) + i*\sin(\varphi*t)
[/mm]
[mm]
e^{\alpha_2*t} = \cos (\varphi*t) - i*\sin(\varphi*t)
[/mm]
Nun kommt bei mir die Unsicherheit. :) (sofern das oben so stimmt...).
Wie bilde ich nun aus den Fundamentallösungen oben reale Lösungen? Hab nachgelesen und nur gefunden, dass ich über "geeignete Linearkombinationen" auf:
[mm]
x_1(t) = \cos (\varphi*t)
[/mm]
und
[mm]
x_2(t) = \sin (\varphi*t)
[/mm]
kommen sollte/müsste. Seh da aber den Weg nicht.
Die allgemeine Lösung für x(t) wäre dann wenn ich mich nicht irre:
[mm]
x(t) = C_1*\sin (\varphi*t) + C_2*\cos (\varphi*t)
[/mm]
analog wäre dann ja
[mm]
y(t) = C_3*\sin (\varphi*t) + C_4*\cos (\varphi*t)
[/mm]
Würde das so stimmen? Oder sind die Konstanten [mm] C_1 [/mm] = [mm] C_3 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] = [mm] C_4?
[/mm]
Danke für jede Hilfe und jeden Stups in die richtige Richtung.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo artischoke,
> Ein Teilchen der Masse m bewegt sich reibungsfrei in der xy
> Ebene unter der Wirkung der Kraft
>
> F = - D r
>
> a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie
> die Gleichungen.
> Auch wenn die Frage aus der Physik ist, hoffe ich hier
> richtig zu sein. Geht mir ja um den mathematischen Aspekt.
> :)
>
>
> [mm]\vec F = - D * \vec r
[/mm]
>
> [mm]\vec a * m = - D * \vec r
[/mm]
>
> [mm]m* \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} $ = -D * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $
[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{D}{m} := \varphi^2[/mm]
> [mm]x'' + \varphi^2 * x = 0[/mm]
>
> [mm]y'' + \varphi^2 * y = 0[/mm]
>
> Ansatz:
> [mm]
x(t) = e^{\alpha * t}
[/mm]
> [mm]
\Rightarrow x''(t) = \alpha^2 * e^{\alpha * t}
[/mm]
>
> [mm]
\Rightarrow e^{\alpha * t} * (\alpha^2 + \varphi^2)
[/mm]
>
> [mm]
\alpha_1 = i * \varphi
[/mm]
> [mm]
\alpha_2 = -i * \varphi
[/mm]
>
> [mm]
e^{\alpha_1*t} = \cos (\varphi*t) + i*\sin(\varphi*t)
[/mm]
>
> [mm]
e^{\alpha_2*t} = \cos (\varphi*t) - i*\sin(\varphi*t)
[/mm]
>
>
> Nun kommt bei mir die Unsicherheit. :) (sofern das oben so
> stimmt...).
> Wie bilde ich nun aus den Fundamentallösungen oben reale
> Lösungen? Hab nachgelesen und nur gefunden, dass ich über
> "geeignete Linearkombinationen" auf:
>
> [mm]
x_1(t) = \cos (\varphi*t)
[/mm]
> und
> [mm]
x_2(t) = \sin (\varphi*t)
[/mm]
> kommen sollte/müsste. Seh da
> aber den Weg nicht.
Nun, da es sich um eine DGL zweiter Ordnung handelt,
ist die Lösung:
[mm]x\left(t\right)=c_{1}*e^{\alpha_{1}*t}+c_{2}*e^{\alpha_{2}*t}[/mm]
mit [mm]\alpha_{2}=\overline{\alpha_{1}}[/mm]
Die Lösung hier ist komplex.
Durch geschickte Wahl der Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm]
erhält man die reelle Lösung.
Ausgeschrieben lautet die Lösung:
[mm]x\left(t\right)=c_{1}*\left( \ \cos\left(\varphi*t\right)+i*\sin\left(\varphi*t\right) \ \right)+c_{2}*\left( \ \cos\left(\varphi*t\right)-i*\sin\left(\varphi*t\right) \ \right)[/mm]
[mm]=\left(c_{1}+c_{2}\right)*\cos\left(\varphi*t\right)+i*\left(c_{1}-c_{2}\right)*\sin\left(\varphi*t\right)[/mm]
Nun, sind die Faktoren
[mm]c_{1}+c_{2}, \ i*\left(c_{1}-c_{2}\right)[/mm]
so zu wählen, daß diese reell werden.
Das heißt:
[mm]c_{1}+c_{2} \in \IR[/mm]
[mm]i*\left(c_{1}-c_{2}\right) \in \IR[/mm]
>
> Die allgemeine Lösung für x(t) wäre dann wenn ich mich
> nicht irre:
> [mm]
x(t) = C_1*\sin (\varphi*t) + C_2*\cos (\varphi*t)
[/mm]
>
> analog wäre dann ja
> [mm]
y(t) = C_3*\sin (\varphi*t) + C_4*\cos (\varphi*t)
[/mm]
>
> Würde das so stimmen? Oder sind die Konstanten [mm]C_1[/mm] = [mm]C_3[/mm]
> und [mm]C_2[/mm] = [mm]C_4?[/mm]
Das stimmt so.
Die Konstanten sind durch die Anfangsbedingungen bestimmt.
>
> Danke für jede Hilfe und jeden Stups in die richtige
> Richtung.
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
>
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower und danke für die schnelle Antwort.
> Nun, da es sich um eine DGL zweiter Ordnung handelt,
> ist die Lösung:
>
> [mm]x\left(t\right)=c_{1}*e^{\alpha_{1}*t}+c_{2}*e^{\alpha_{2}*t}[/mm]
>
> mit [mm]\alpha_{2}=\overline{\alpha_{1}}[/mm]
>
> Die Lösung hier ist komplex.
>
> Durch geschickte Wahl der Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm]
>
> erhält man die reelle Lösung.
>
> Ausgeschrieben lautet die Lösung:
>
> [mm]x\left(t\right)=c_{1}*\left( \ \cos\left(\varphi*t\right)+i*\sin\left(\varphi*t\right) \ \right)+c_{2}*\left( \ \cos\left(\varphi*t\right)-i*\sin\left(\varphi*t\right) \ \right)[/mm]
>
> [mm]=\left(c_{1}+c_{2}\right)*\cos\left(\varphi*t\right)+i*\left(c_{1}-c_{2}\right)*\sin\left(\varphi*t\right)[/mm]
>
>
> Nun, sind die Faktoren
>
> [mm]c_{1}+c_{2}, \ i*\left(c_{1}-c_{2}\right)[/mm]
>
> so zu wählen, daß diese reell werden.
>
> Das heißt:
>
> [mm]c_{1}+c_{2} \in \IR[/mm]
>
> [mm]i*\left(c_{1}-c_{2}\right) \in \IR[/mm]
>
>
Wenn ich dich richtig verstehe ist also
$ [mm] C_1 [/mm] = [mm] c_{1}+c_{2} \in \IR [/mm] $
und
$ [mm] C_2 [/mm] = [mm] i*\left(c_{1}-c_{2}\right) \in \IR$
[/mm]
in meinem Fall?!
Geht das denn überhaupt, dass dann [mm] C_1 [/mm] sowie [mm] C_2 [/mm] reell sind? *verwirrt*
Danke & schönen Samtag
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Hallo artischoke,
> Hallo Mathepower und danke für die schnelle Antwort.
>
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> > Nun, da es sich um eine DGL zweiter Ordnung handelt,
> > ist die Lösung:
> >
> >
> [mm]x\left(t\right)=c_{1}*e^{\alpha_{1}*t}+c_{2}*e^{\alpha_{2}*t}[/mm]
> >
> > mit [mm]\alpha_{2}=\overline{\alpha_{1}}[/mm]
> >
> > Die Lösung hier ist komplex.
> >
> > Durch geschickte Wahl der Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm]
> >
> > erhält man die reelle Lösung.
> >
> > Ausgeschrieben lautet die Lösung:
> >
> > [mm]x\left(t\right)=c_{1}*\left( \ \cos\left(\varphi*t\right)+i*\sin\left(\varphi*t\right) \ \right)+c_{2}*\left( \ \cos\left(\varphi*t\right)-i*\sin\left(\varphi*t\right) \ \right)[/mm]
>
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> >
> [mm]=\left(c_{1}+c_{2}\right)*\cos\left(\varphi*t\right)+i*\left(c_{1}-c_{2}\right)*\sin\left(\varphi*t\right)[/mm]
> >
> >
> > Nun, sind die Faktoren
> >
> > [mm]c_{1}+c_{2}, \ i*\left(c_{1}-c_{2}\right)[/mm]
> >
> > so zu wählen, daß diese reell werden.
> >
> > Das heißt:
> >
> > [mm]c_{1}+c_{2} \in \IR[/mm]
> >
> > [mm]i*\left(c_{1}-c_{2}\right) \in \IR[/mm]
> >
> >
> Wenn ich dich richtig verstehe ist also
>
> [mm]C_1 = c_{1}+c_{2} \in \IR[/mm]
> und
> [mm]C_2 = i*\left(c_{1}-c_{2}\right) \in \IR[/mm]
>
> in meinem Fall?!
>
> Geht das denn überhaupt, dass dann [mm]C_1[/mm] sowie [mm]C_2[/mm] reell
> sind? *verwirrt*
>
Ja, das geht.
Wie schon erwähnt, [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] sind so zu wählen,
daß [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] reell werden.
>
> Danke & schönen Samtag
>
Gruss
MathePower
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> > > Nun, sind die Faktoren
> > >
> > > [mm]c_{1}+c_{2}, \ i*\left(c_{1}-c_{2}\right)[/mm]
> > >
> > > so zu wählen, daß diese reell werden.
> > >
> > > Das heißt:
> > >
> > > [mm]c_{1}+c_{2} \in \IR[/mm]
> > >
> > > [mm]i*\left(c_{1}-c_{2}\right) \in \IR[/mm]
> > >
> > >
> > Wenn ich dich richtig verstehe ist also
> >
> > [mm]C_1 = c_{1}+c_{2} \in \IR[/mm]
> > und
> > [mm]C_2 = i*\left(c_{1}-c_{2}\right) \in \IR[/mm]
> >
> > in meinem Fall?!
> >
> > Geht das denn überhaupt, dass dann [mm]C_1[/mm] sowie [mm]C_2[/mm] reell
> > sind? *verwirrt*
Okay, soweit komm ich nun mit. Wenn ich [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] zueinander konjugiert komplex wähle passt das ja mit dem reellen Ergebnis.
Laut meinem schlauen Buch soll sich das jetzt noch umschreiben lassen, und zwar:
[mm]x(t)=C_1 * x_1(t)*C_2 * x_2(t) = C * e^{0*t} * \sin (\varphi * t + \gamma) = C * \sin (\varphi * t + \gamma)[/mm]
Kannst du mir noch kurz erklären, wie man auf die Phasenverschiebung [mm] $\gamma$ [/mm] und die Reduzierung zum Sinus kommt?
Folglich wäre dann ja
[mm]x(t)= K_1 * \sin (\varphi * t + \gamma_1)[/mm]
[mm]y(t)= K_2 * \sin (\varphi * t + \gamma_2)[/mm]
und dementsprechend:
[mm]\vec r(t) = \begin{pmatrix} K_1 * \sin (\varphi * t + \gamma_1) \\ K_2 * \sin (\varphi * t + \gamma_2) \end{pmatrix}[/mm]
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 So 22.11.2009 | | Autor: | Dath |
Man kommt darauf, indem man die Additionstheoreme anwendet. Und zwar rückwärts. Im übrigen bezweifle ich sehr das Multiplikationszeichen in deiner Rechnung: Man addiert ja bei einer DGL die Lösung, nicht multipliziert.
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$ [mm] x(t)=C_1 \cdot{} x_1(t)$ [/mm] + $ [mm] {}C_2 \cdot{} x_2(t) [/mm] = C [mm] \cdot{} e^{0\cdot{}t} \cdot{} \sin (\varphi \cdot{} [/mm] t + [mm] \gamma) [/mm] = C [mm] \cdot{} \sin (\varphi \cdot{} [/mm] t + [mm] \gamma) [/mm] $
Das war ein Vertipper. =)
Danke.
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