DGL 2 Ordnung Anfangswert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung folgender Anfangswertprobleme:
a) x``+4x`+8x=0 mit x(0)=1 ; x`(0)=2
b) x``+4x`+8x=16sin(2t) mit x(0)=1 ; x`(0)=2
c) [mm] x``-7x`+6x=42e^{4z} [/mm] mit [mm] x(1)=8e^4; x`(1)=-84^4 [/mm] |
a) x''+4x'+8x=0
[mm] \lambda²+4\lambda+8=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda_1= [/mm] 2i-2
[mm] \lambda_2=-2i-2
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)
[/mm]
[mm] x'(t)=-2e^{-2t}C_1sin(2t)+2C_1cos(2t)*e^{-2t}-2C_2sin(2t)*e^{-2t}-2e^{-2t}C_2cos(2t)
[/mm]
x(0)=1 [mm] \Rightarrow C_2=e^{2t}
[/mm]
x'(0)=2 [mm] \Rightarrow2=2C_1e^{-2t}-2e^{-2t}C_2 \Rightarrow C_1=2e^{2t}
[/mm]
b) x''+4x'+8x=16sin(2t)
[mm] x_{h}(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)
[/mm]
[mm] x_p(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
[/mm]
[mm] x_p'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)
[/mm]
[mm] x_p''(t)=-4Acos(2t)-4Bsin(2t)
[/mm]
in DGL:
4Acos(2t)-8Asin(2t)+4Bsin(2t)+8Bcos(2t)=16sin(2t)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
0=4A+8B
16=-6A+4B
[mm] A=-\bruch{8}{5}
[/mm]
[mm] B=\bruch{4}{5}
[/mm]
[mm] x(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)-\bruch{8}{5}cos(2t)+\bruch{4}{5}sin(2t)
[/mm]
ist soweit alles richtig?
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Hallo arbeitsamt,
> Bestimmen Sie die Lösung folgender Anfangswertprobleme:
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> a) x''+4x'+8x=0 mit x(0)=1 ; x'(0)=2
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> b) x''+4x'+8x=16sin(2t) mit x(0)=1 ; x'(0)=2
>
> c) [mm]x''-7x'+6x=42e^{4z}[/mm] mit [mm]x(1)=8e^4; x'(1)=-84^4[/mm]
> a)
> x''+4x'+8x=0
>
> [mm]\lambda²+4\lambda+8=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] 2i-2
> [mm]\lambda_2=-2i-2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]x(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)[/mm]
>
> [mm]x'(t)=-2e^{-2t}C_1sin(2t)+2C_1cos(2t)*e^{-2t}-2C_2sin(2t)*e^{-2t}-2e^{-2t}C_2cos(2t)[/mm]
>
> x(0)=1 [mm]\Rightarrow C_2=e^{2t}[/mm]
>
> x'(0)=2 [mm]\Rightarrow2=2C_1e^{-2t}-2e^{-2t}C_2 \Rightarrow C_1=2e^{2t}[/mm]
>
Hier sind doch zuerst die Anfangsbedingungen einzusetzen
und dann die Werte der Konstanten zu ermitteln.
>
>
> b) x''+4x'+8x=16sin(2t)
>
> [mm]x_{h}(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)[/mm]
>
> [mm]x_p(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)[/mm]
>
> [mm]x_p'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)[/mm]
>
> [mm]x_p''(t)=-4Acos(2t)-4Bsin(2t)[/mm]
>
> in DGL:
>
> 4Acos(2t)-8Asin(2t)+4Bsin(2t)+8Bcos(2t)=16sin(2t)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> 0=4A+8B
> 16=-6A+4B
>
> [mm]A=-\bruch{8}{5}[/mm]
> [mm]B=\bruch{4}{5}[/mm]
>
> [mm]x(t)=e^{-2t}C_1sin(2t)+e^{-2t}C_2cos(2t)-\bruch{8}{5}cos(2t)+\bruch{4}{5}sin(2t)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist soweit alles richtig?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Do 05.06.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
hallo,
> Hier sind doch zuerst die Anfangsbedingungen einzusetzen
> und dann die Werte der Konstanten zu ermitteln.
das habe ich getan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mo 09.06.2014 | | Autor: | John-89 |
Moin Arbeitsamt,
ich glaube was der Herr meint ist, dass c2 nicht =e^(2*t) ist.
Es ist doch eher e^(2*0) (AWP beachten) und damit c2=1 sowie c1=2.
Sry für die Notation aber die Eingabehilfen sind mir zu gedrungen um dort durchzusteigen.
lg John
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