DGL 2. Ordnung, nichtlinear < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Down |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] y''=2*(1-\wurzel{y})*e^{-2*\wurzel{y}}, [/mm] y(0)=1, y'(0)=-2/e
Mit der Lösung: (Nicht bestandteil der Aufgabe, nur für späteres Überprüfen)
[mm] y=ln^2(e-x) [/mm] |
Das ist dann also:
y''=f(y)
[mm] f(y)=2*(1-\wurzel{y})*e^{-2*\wurzel{y}}
[/mm]
Durch beidseitiges Multiplizieren mit 2*y' habe ich es auf folgende Form gebracht, wobei F(y) die Stammfunktion von f(y) ist:
[mm] (y')^2=2*F(y)+c1
[/mm]
[mm] y'=\wurzel{4*e^(-2*\wurzel{y})+c1}
[/mm]
Aber wie kann ich da weiterfahren? Oder habe ich einen völlig falschen Lösungsansatz gewählt?
Sitze schon seit Stunden an der dieser Aufgabe. :-/ Ich wäre superfroh, wenn ich am Sonntag eine Antwort bekäme, da ich am Montag die Prüfung über dieses Thema habe. Aber auch später würde es mich interessieren, wo ich meinen Denkfehler mache.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Down.
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen Sie das Anfangswertproblem:
>
> [mm]y''=2*(1-\wurzel{y})*e^{-2*\wurzel{y}},[/mm] y(0)=1, y'(0)=-2/e
>
> Mit der Lösung:
> [mm]y=ln^2(e-x)[/mm]
> Das ist dann also:
> y''=f(y)
> [mm]f(y)=2*(1-\wurzel{y})*e^{-2*\wurzel{y}}[/mm]
>
> Durch beidseitiges Multiplizieren mit 2*y' habe ich es auf
> folgende Form gebracht, wobei F(y) die Stammfunktion von
> f(y) ist:
>
> [mm](y')^2=2*F(y)+c1[/mm]
>
> [mm]y'=\wurzel{4*e^(-2*\wurzel{y})+c1}[/mm]
>
Eine Stammfunktion zu
[mm]2*(1-\wurzel{y})*e^{-2*\wurzel{y}}[/mm]
ist
[mm]2*y*e^{-2*\wurzel{y}} +c1, \ c1 \in \IR[/mm]
Hier muss es doch zunächst lauten:
[mm]\bruch{\left(y'\right)^{2}}{2}=2*y*e^{-2*\wurzel{y}} +c1[/mm]
Jetzt setzt Du die Anfangsbedingungen ein.
> Aber wie kann ich da weiterfahren? Oder habe ich einen
> völlig falschen Lösungsansatz gewählt?
>
Ich weiss nicht ob Du hier nur die angegebene Lösung verifizieren sollst.
> Sitze schon seit Stunden an der dieser Aufgabe. :-/ Ich
> wäre superfroh, wenn ich am Sonntag eine Antwort bekäme,
> da ich am Montag die Prüfung über dieses Thema habe. Aber
> auch später würde es mich interessieren, wo ich meinen
> Denkfehler mache.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:19 So 22.01.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
MathePower hat doch schon alles vorgerechnet:
> Hallo Down.
>
>
>
> > Lösen Sie das Anfangswertproblem:
> >
> > [mm]y''=2*(1-\wurzel{y})*e^{-2*\wurzel{y}},[/mm] y(0)=1, y'(0)=-2/e
> >
> > Mit der Lösung:
> > [mm]y=ln^2(e-x)[/mm]
> > Das ist dann also:
> > y''=f(y)
> > [mm]f(y)=2*(1-\wurzel{y})*e^{-2*\wurzel{y}}[/mm]
> >
> > Durch beidseitiges Multiplizieren mit 2*y' habe ich es auf
> > folgende Form gebracht, wobei F(y) die Stammfunktion von
> > f(y) ist:
> >
> > [mm](y')^2=2*F(y)+c1[/mm]
> >
> > [mm]y'=\wurzel{4*e^(-2*\wurzel{y})+c1}[/mm]
> >
>
> Eine Stammfunktion zu
>
> [mm]2*(1-\wurzel{y})*e^{-2*\wurzel{y}}[/mm]
>
> ist
>
> [mm]2*y*e^{-2*\wurzel{y}} +c1, \ c1 \in \IR[/mm]
>
> Hier muss es doch zunächst lauten:
>
> [mm]\bruch{\left(y'\right)^{2}}{2}=2*y*e^{-2*\wurzel{y}} +c1[/mm]
>
> Jetzt setzt Du die Anfangsbedingungen ein.
>
>
> > Aber wie kann ich da weiterfahren? Oder habe ich einen
> > völlig falschen Lösungsansatz gewählt?
> >
[mm]\left(y'\right)^{2}=4*y*e^{-2*\wurzel{y}} [/mm]
[mm]y' \; = \; \pm 2*\frac{\sqrt{y}}{e^{\sqrt{y}}}[/mm]
$ [mm] \int \frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} \; [/mm] dy = [mm] \; \pm [/mm] 2 * [mm] \int [/mm] dx$
[mm] $2*e^{\sqrt{y}} \; [/mm] = [mm] \; \pm [/mm] 2*x+2*C$
[mm] $\sqrt{y_1} \; [/mm] = [mm] \; [/mm] ln(C-x)$ und [mm] $\sqrt{y_2} \; [/mm] = [mm] \; [/mm] ln(x+C)$
Zu den Anfangsbedingungen passt nur [mm] y_1 [/mm] .
$y [mm] \; [/mm] = [mm] \; ln^2(C-x)$
[/mm]
$y(x=0) [mm] \; [/mm] = [mm] \; ln^2(C)=1$
[/mm]
$ln(C)= [mm] \pm [/mm] 1$
[mm] $C_1 [/mm] = e$ und [mm] $C_2=e^{-1}$
[/mm]
[mm] $y'=2*\frac{ln(C-x)}{x-C}$
[/mm]
$y'(x=0) [mm] \; [/mm] = [mm] \; -2*\frac{ln(C)}{C} \; [/mm] = [mm] \; -\frac{2}{e}$
[/mm]
$ [mm] \frac{ln(C)}{C} \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{e}$
[/mm]
Damit nur: [mm] C_1=e
[/mm]
Also:
$y [mm] \; [/mm] = [mm] \; ln^2(e-x)$
[/mm]
>
> Ich weiss nicht ob Du hier nur die angegebene Lösung
> verifizieren sollst.
>
>
> > Sitze schon seit Stunden an der dieser Aufgabe. :-/ Ich
> > wäre superfroh, wenn ich am Sonntag eine Antwort bekäme,
> > da ich am Montag die Prüfung über dieses Thema habe. Aber
> > auch später würde es mich interessieren, wo ich meinen
> > Denkfehler mache.
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> Gruss
> MathePower
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 So 22.01.2012 | | Autor: | Down |
Super, vielen Dank für für die Antworten, MathePower und Martinius. Hat mir sehr geholfen.
edit: Bei der Modulprüfung kam tatsächlich diese Art der DGL, konnte es so umsetzen. Danke nochmals.
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