DGL 2. Ordnung, homogen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:38 Fr 19.08.2005 | | Autor: | erazor |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Kann mir jemand sagen ob die Lösung folgender DGL 2. Ordnung richtig ist ?
t'' - 4t' + 4t = 0
Die Anfangsbedingungen lauten t(0) = 1 und t'(0) = 2
Ich ersetze t'' und t' durch [mm] \lambda [/mm] 1 und [mm] \lambda [/mm] 2 und erhalte als Lösung der quadratischen Gleichung: [mm] \lambda [/mm] 1 = 2 und [mm] \lambda [/mm] 2 = 0.
Daraus folgere ich die allgemeine Lösung mit
t(x) = C1 * [mm] e^{4x} [/mm] + C2
Jetzt mache ich mich an die Anfangsbedingungen:
t'(0) = C1 * [mm] 4e^{4x}
[/mm]
2 = C1 * [mm] 4e^{4x}
[/mm]
C1 = 2/4 = 1/2
t(0) = 1/2 * [mm] e^{4*0} [/mm] + C2
1 = 1/2 * [mm] e^{4*0} [/mm] + C2
1 = 1/2 + C2
C2 = 1/2
Meine spezielle Lösung lautet daher :
t(x) = 1/2 [mm] e^{4x} [/mm] + 1/2
Kann mir jemand dieses Ergebnis bestätigen ?
Wenn nicht wäre es sehr hilfreich wenn mir jemand meinen Fehler nennen könnte.
Vielen Dank schonmal.
mfg
erazor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Hier stimmt so einiges nicht...
> Kann mir jemand sagen ob die Lösung folgender DGL 2.
> Ordnung richtig ist ?
>
> t'' - 4t' + 4t = 0
>
> Die Anfangsbedingungen lauten t(0) = 1 und t'(0) = 2
> Ich ersetze t'' und t' durch [mm]\lambda[/mm] 1 und [mm]\lambda[/mm] 2 und
> erhalte als Lösung der quadratischen Gleichung: [mm]\lambda[/mm] 1 =
> 2 und [mm]\lambda[/mm] 2 = 0.
Nein. Das charakteristische Polynom lautet:
[mm] $p(x)=x^2-4x+4 [/mm] = [mm] (x-2)^2$,
[/mm]
und wir haben $x=2$ als zweifache Nullstelle.
Daher lautet die allgemeine Lösung::
$t(x) = [mm] C_1e^{2x} [/mm] + [mm] C_2xe^{2x}$.
[/mm]
Versuche es ab da bitte noch einmal. 
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo erazor,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
Einen Deiner Fehler bei der Lösung des charakteristischen Polynoms hat Dir ja Stefan bereits aufgezeigt ...
> Meine spezielle Lösung lautet daher : [mm]t(x) = \bruch{1}{2}e^{4x}+\bruch{1}{2}[/mm]
> Kann mir jemand dieses Ergebnis bestätigen ?
Das könntest Du ja auch selber ganz schnell überprüfen, indem Du von dieser Funktion $t(x)_$ die beiden Ableitungen $t'(x)_$ und $t''(x)_$ bildest und einfach mal in die Ausgangs-DGL einsetzt.
Dann sollte mit etwas Zusammenfassen auch am Ende eine wahre Ausssage (hier: "= 0") herauskommen.
Und daran sieht man auch , dass Deine Funktion mit einem Absolutglied $+ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] gar nicht stimmen kann, da dieser Term beim Ableiten verschwindet und dann in der DGL nicht mehr eliminiert werden kann.
Gruß
Loddar
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