DGL 2. Ordnung Reduzieren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten einen masselosen Stab der Länge $l$, der an einem Ende aufgehängt ist und am anderen Ende einen Massenpunkt $m$ trägt. Mit [mm] $\Theta$ [/mm] bezeichnen wir den Auslenkungswinkel des Pendels aus der Vertikalen. Nach den Gesetzen (oder den Modellen) der Mechanik ist die Winkelbeschleunigung [mm] $\ddot{\Theta}$ [/mm] proportional dem Kraftmoment des Gewichts:
$I [mm] \ddot{\Theta}=-mgl\cdot\sin\Theta$
[/mm]
wobei $I = [mm] ml^{2}$ [/mm] das Trägheitsmoment ist.
Entdimensionalisieren Sie die Gleichung und überführen Sie diese Differentialgleichung 2. Ordnung durch eine geeignete Substitution in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung. Tipp:
Führen Sie als zweite Variable die Winkelgeschwindigkeit ein. |
Entdimensionalisiert habe ich das ganze wie folgt:
[mm] $\psi\left(\tau\right)=\frac{\Theta\left(\tau\overline{t}\right)}{\overline{\Theta}}$; $\tau=\frac{t}{\overline{t}}$
[/mm]
[mm] $\ddot{\psi}=&\frac{\overline{t}^{2}}{\overline{\Theta}}\ddot{\Theta}\\=&\frac{\overline{t}^{2}}{\overline{\Theta}}\cdot\frac{-mgl\cdot\sin\Theta}{I}\\=&\frac{\overline{t}^{2}}{\overline{\Theta}}\cdot\frac{-mgl\cdot\sin\Theta}{ml^{2}}\\=&\frac{\overline{t}^{2}}{\overline{\Theta}}\cdot\frac{-g\cdot\sin\Theta}{l} =&\frac{\overline{t}^{2}}{\overline{\Theta}}\cdot\frac{-g\cdot\sin\left(\psi\overline{\Theta}\right)}{l}$
[/mm]
Skalenwahl: [mm] $\overline{t}=\sqrt{\frac{l}{g}}$ [/mm]
[mm] $\ddot{\psi}=-\sin\left(\psi\overline{\Theta}\right)$
[/mm]
Das ist dann meine Entdimensionalisierte Gleichung.
Nun soll ich diese ja Reduzieren indem ich irgendwie die Winkelgeschwindigkeit [mm] $\dot{\Theta}$ [/mm] einführe und geeignet substituieren.
Allerdings weiss ich nicht genau wie ich die einführen soll sodass es mir was bringt. Zumal ich doch mit der Entdimensionalisierten Form weitermachen soll.
Sprich [mm] $\ddot{\psi}=-\sin\left(\psi\overline{\Theta}\right)$ [/mm] soll zur DGL 1. Ordnung.
Dort kommt ja so erstmal gar nichts drin vor, was mit der Winkelgeschwindigkeit zu tun hat.
Nun weiss ich leider nicht mehr weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mo 19.12.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dgl 2 der Ordnung in ein System 1. Ordnung zu überführen ist immer dasselbe
hier
[mm] \psi'=\omega
[/mm]
[mm] \omega'=(\psi'')= f(\psi)
[/mm]
da System 1. der Ordnung da steht ist das wohl gemeint.
anderer Weg:
man multipliziert die Dgl mit [mm] \Theta' [/mm] bzw [mm] \Psi'
[/mm]
und sieht dass f'*f''=d/dt(f'^2) und sin(f)*f' =-d/dt(cos(f)) ist
dann kann man 1 mal integrieren.
ich denke nicht, dass das zweite hier gemeint ist.
Gruß leduart
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