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| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung
[mm] a\bruch{d^{2}y}{dx^{2}} [/mm] = by + [mm] c\wurzel{1+(\bruch{dy}{dx})^{2}}
[/mm]
mit y(0) = [mm] y_{0} [/mm] > 0 und [mm] \bruch{dy}{dx}|_{x=0}=0 [/mm] sowie a, b, c > 0. |
Hallo,
wie geht man an eine solche Aufgabe heran?
Gibt es überhaupt eine exakte Lösung dieser DGL?
Meine bisherigen Ansätze:
1. Wegen [mm] \bruch{dy}{dx}|_{x=0}=0 [/mm] kann ein "Variablentausch" mit einer Lösungssuche über die Umkehrfunktion x(y) nicht angewandt werden.
2. Da sowohl "y" als auch der Wurzelausdruck mit [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] auf der rechten Seite stehen, kann ich keine zielführende Substitution erkennen.
Somit bleiben Näherungsverfahren um die DGL zu lösen:
3. Ein Potenzreihenansatz funktioniert wegen dem Wurzelausdruck auf der rechten Seite nicht.
4. Das Näherungsverfahren nach Picard-Lindelöf funktioniert nur für DGL 1. Ordnung.
5. Bleibt somit nur eine numerische Lösung mittels Differenzenverfahren.
Sind meine Überlegungen soweit richtig?
Ist 5. zielführend?
Gibt es eine elegantere Lösungsmethode?
Viele Dank für alle Antworten.
Schöne Grüße
franzzink
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Hallo franzzink,
> Lösen Sie die Differentialgleichung
>
> [mm]a\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}[/mm] = by +
> [mm]c\wurzel{1+(\bruch{dy}{dx})^{2}}[/mm]
>
> mit y(0) = [mm]y_{0}[/mm] > 0 und [mm]\bruch{dy}{dx}|_{x=0}=0[/mm]
> sowie a, b, c > 0.
> Hallo,
>
> wie geht man an eine solche Aufgabe heran?
> Gibt es überhaupt eine exakte Lösung dieser DGL?
>
> Meine bisherigen Ansätze:
>
> 1. Wegen [mm]\bruch{dy}{dx}|_{x=0}=0[/mm] kann ein "Variablentausch"
> mit einer Lösungssuche über die Umkehrfunktion x(y) nicht
> angewandt werden.
>
> 2. Da sowohl "y" als auch der Wurzelausdruck mit
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] auf der rechten Seite stehen, kann ich keine
> zielführende Substitution erkennen.
>
> Somit bleiben Näherungsverfahren um die DGL zu lösen:
>
> 3. Ein Potenzreihenansatz funktioniert wegen dem
> Wurzelausdruck auf der rechten Seite nicht.
>
> 4. Das Näherungsverfahren nach Picard-Lindelöf
> funktioniert nur für DGL 1. Ordnung.
>
Die DGL 2. Ordnung kannst Du in
ein System von DGLn 1.Ordnung überführen.
Damit ist Picard-Lindelöf anwendbar.
> 5. Bleibt somit nur eine numerische Lösung mittels
> Differenzenverfahren.
>
>
> Sind meine Überlegungen soweit richtig?
> Ist 5. zielführend?
> Gibt es eine elegantere Lösungsmethode?
>
> Viele Dank für alle Antworten.
>
> Schöne Grüße
> franzzink
Gruss
MathePower
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Danke für den Tipp, aber die DGL ist nicht linear bzgl. [mm] \bruch{dy}{dx}.
[/mm]
Wie wandelt man eine nicht-lineare DGL in ein System von Differentialgleichungen um?
Zumindest in der Matrizenschreibweise wird dies schwierig, oder?
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Hallo franzzink,
> Danke für den Tipp, aber die DGL ist nicht linear bzgl.
> [mm]\bruch{dy}{dx}.[/mm]
>
> Wie wandelt man eine nicht-lineare DGL in ein System von
> Differentialgleichungen um?
>
> Zumindest in der Matrizenschreibweise wird dies schwierig,
> oder?
Keineswegs.
Wir haben doch
[mm] a\bruch{d^{2}y}{dx^{2}} = by + c\wurzel{1+(\bruch{dy}{dx})^{2}} [/mm]
Umgeformt:
[mm] \bruch{d^{2}y}{dx^{2}} = \bruch{b}{a}y + \bruch{c}{a}\wurzel{1+(\bruch{dy}{dx})^{2}} [/mm]
Zur Umwandlung in ein System von DGLn 1. Ordnung:
Setze z.B.
[mm]u=y, u'=y'=v[/mm]
Dann hast Du zwei DGLn 1. Ordnung:
[mm]u'=v[/mm]
[mm]v'=\bruch{b}{a}u + \bruch{c}{a}\wurzel{1+v^{2}} [/mm]
Demnach steht da:
[mm]\pmat{u' \\ v'}=\pmat{v \\ \bruch{b}{a}u + \bruch{c}{a}\wurzel{1+v^{2}}}[/mm]
Und somit kannst Du Picard-Lindelöf anwenden.
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für die ausführliche Antwort. Mit Matrizenschreibweise meinte ich eigentlich die Form
[mm]\pmat{u' \\ v'}=\pmat{A_{11}& A_{12} \\ A_{21}& A_{22}}*\pmat{u \\ v}[/mm]
Aber gut, so wie dargelegt geht es natürlich. Das habe ich verstanden.
Wie macht man an dieser Stelle dann weiter?
Zum Üben habe ich den Fall b = 0 mit Picard-Lindelöf versucht. (Weil für diesen Fall auch die exakte Lösung angegeben werden kann.)
Wegen dem Wurzelausdruck [mm] \wurzel{1+(\bruch{dy}{dx})^{2}} [/mm] wird es bei Rechung "von Hand" schon nach zwei Iterationsschritten sehr umständlich die Integrale zu berechnen. (Es sei denn man setzt von Anfang an die analytisch exakte Lösung ein, aber wenn man diese kennt, benötigt man ja auch kein Picard-Lindelöf.)
Einzige Idee, die ich noch habe, um mit einer Rechnung "von Hand" weiterzukommen:
Beschränkt man sich auf jene Fälle mit [mm] \bruch{dy}{dx}<1 [/mm] kann man den Wurzelausdruck [mm] \wurzel{1+(\bruch{dy}{dx})^{2}} [/mm] durch eine binomische Reihe ersetzen. Damit ließen sich dann noch weitere Iterationsschritte mit Picard-Lindelöf ausführen, bis man eine brauchbare Näherung erhält.
Praktischerweise sollte man jedoch [mm]\pmat{u' \\ v'}=\pmat{v \\ \bruch{b}{a}u + \bruch{c}{a}\wurzel{1+v^{2}}}[/mm] numerisch lösen.
Sehe ich dies richtig oder habe ich hier einen mathematischen "Kniff" übersehen?
Nochmals vielen Dank und einen schönen Abend
Freundliche Grüße
franzzink
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Hallo franzzink,
> Hallo MathePower,
>
> danke für die ausführliche Antwort. Mit
> Matrizenschreibweise meinte ich eigentlich die Form
>
> [mm]\pmat{u' \\ v'}=\pmat{A_{11}& A_{12} \\ A_{21}& A_{22}}*\pmat{u \\ v}[/mm]
>
> Aber gut, so wie dargelegt geht es natürlich. Das habe ich
> verstanden.
>
>
> Wie macht man an dieser Stelle dann weiter?
>
> Zum Üben habe ich den Fall b = 0 mit Picard-Lindelöf
> versucht. (Weil für diesen Fall auch die exakte Lösung
> angegeben werden kann.)
>
> Wegen dem Wurzelausdruck [mm]\wurzel{1+(\bruch{dy}{dx})^{2}}[/mm]
> wird es bei Rechung "von Hand" schon nach zwei
> Iterationsschritten sehr umständlich die Integrale zu
> berechnen. (Es sei denn man setzt von Anfang an die
> analytisch exakte Lösung ein, aber wenn man diese kennt,
> benötigt man ja auch kein Picard-Lindelöf.)
>
> Einzige Idee, die ich noch habe, um mit einer Rechnung "von
> Hand" weiterzukommen:
> Beschränkt man sich auf jene Fälle mit [mm]\bruch{dy}{dx}<1[/mm]
> kann man den Wurzelausdruck [mm]\wurzel{1+(\bruch{dy}{dx})^{2}}[/mm]
> durch eine binomische Reihe ersetzen. Damit ließen sich
> dann noch weitere Iterationsschritte mit Picard-Lindelöf
> ausführen, bis man eine brauchbare Näherung erhält.
>
>
> Praktischerweise sollte man jedoch [mm]\pmat{u' \\ v'}=\pmat{v \\ \bruch{b}{a}u + \bruch{c}{a}\wurzel{1+v^{2}}}[/mm]
> numerisch lösen.
>
> Sehe ich dies richtig oder habe ich hier einen
> mathematischen "Kniff" übersehen?
>
Die urpsrüngliche DGL 2. Ordnung kannst Du näherungsweise lösen.
Ausgehend von der DGL
[mm]a\bruch{d^{2}y}{dx^{2}} = by + c\wurzel{1+(\bruch{dy}{dx})^{2}} [/mm]
differenzierst Du diese nach x und ersetzt
darin [mm]y''[/mm] gemäß der gegebenen DGL:
[mm]\[a\,\left( \frac{{d}^{3}}{d\,{x}^{3}}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) =\frac{c\,\left( \frac{d}{d\,x}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) \,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{x}^{2}}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) }{\sqrt{{\left( \frac{d}{d\,x}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) }^{2}+1}}+b\,\left( \frac{d}{d\,x}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) \].[/mm]
Ersetzung ergibt dann:
[mm]\[a\,\left( \frac{{d}^{3}}{d\,{x}^{3}}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) =\frac{b\,c\,\mathrm{y}\left( x\right) \,\left( \frac{d}{d\,x}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) }{a\,\sqrt{{\left( \frac{d}{d\,x}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) }^{2}+1}}+\frac{{c}^{2}\,\left( \frac{d}{d\,x}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) }{a}+b\,\left( \frac{d}{d\,x}\,\mathrm{y}\left( x\right) \right) \][/mm]
Dann bildest Du [mm]y''\left(0\right), \ y^{\left(3\right)}\left(0\right)[/mm]
Daraus ergibt sich dann eine Näherungslösung:
[mm]y\left(x\right) = y\left(0\right)+y'\left(0\right)+\bruch{y''\left(0)}{2!}*x^2+\bruch{y^{\left(3\right)}\left(0)}{3!}*x^3[/mm]
Das Spiel kannst Du beliebig weiter treiben,
bis es z.B. einen Koeffizienten [mm]y^{\left(k\right)}\left(0), \ k > 2, \ k \in \IN[/mm] gibt,
der von 0 verschieden ist.
> Nochmals vielen Dank und einen schönen Abend
>
> Freundliche Grüße
> franzzink
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Di 21.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo MathePower,
man bildet also eine Taylorreihe an der Stelle x = 0. Das ist natürlich eine sehr elegante Lösung.
Vielen Dank!
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