DGL 1. Ordnung inhomogen AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Do 07.11.2013 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | mx'' = K - [mm] rx^{2}', [/mm] r und K konstant. r > 0.
Schreiben Sie diese DGL als eine DGL 1. Ordnung für die Geschwindigkeit x = x' um, und lösen Sie diese mit der Anfangsbedingung v(0) = 0. |
Hallo,
ha das mit homogenen Ansatz versucht:
[mm] mv_{h}' [/mm] + [mm] rv_{h}^{2} [/mm] = 0.
=> [mm] v_{h}(x) [/mm] = [mm] \bruch{m}{rx - c} [/mm] .
Dann den partikulären Ansatz: [mm] v_{p} [/mm] = [mm] \bruch{m}{rx - c(x)}.
[/mm]
Eingesetzt in die Gleichung aus er Aufgabenstellung ergibt:
-(r [mm] -c'(x))\bruch{m^{2}}{(rx - c(x))^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{rm^{2}}{(rx - c(x))^{2}} [/mm] = K.
Umgeformt komme ich auf: c'(x) = [mm] \bruch{K}{m^{2}}(rx [/mm] - [mm] c(x))^{2} [/mm] .
Wie geht es jetzt weiter? Ich sehe wieder eine DGL für die 'Konstante'.
Hab das auch aufm Blatt mal ausmultipliziert...aber mit Trennung der Variablen komm ich nicht weit? Also ich bekomm nicht alle c's unter einen Term damit ich integrieren kann ^^
Ist das überhaupt richtig soweit? Weil die homogene Lösung habe ich überprüft und scheint korrekt zu sein.
beste Grüße
Tomislav
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 01:26 Fr 08.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
diese Antwort ist falsch, sieh die Antwort von Fred außer der Bemerkung t nicht v(x) sondern v(t)
es ist nicht v(x) sondern v(t) und du kannst leicht eine Losung v=A raten, einsetzen und A bestimmen.
Dann noch die Anfangsbedingung einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:09 Fr 08.11.2013 | | Autor: | xcase |
Ausprobieren....hmmmm.
Da fällt mir spontan sowas wie v(t) = [mm] \wurzel{\bruch{K}{r}} [/mm] ein. Das würde sogar die DGL erfüllen...nur soll ich in der 2. Aufgabe die Grenzgeschwindigkeit bestimmen indem ich t -> [mm] \infty [/mm] laufen lassen soll. Das würde bei meiner Lösung allerdings nicht funktionieren.
Gruß
Tomislav
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Fr 08.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, mein Beitrag war falsch und Fred hat natürlich recht.
löse die Dgl direkt durch Trennung der Variablen.Also
[mm] dv/(k/m-r/m*v^2)=dt
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Fr 08.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> mx'' = K - [mm]rx^{2}',[/mm] r und K konstant. r > 0.
>
> Schreiben Sie diese DGL als eine DGL 1. Ordnung für die
> Geschwindigkeit x = x' um, und lösen Sie diese mit der
> Anfangsbedingung v(0) = 0.
>
> Hallo,
>
> ha das mit homogenen Ansatz versucht:
> [mm]mv_{h}'[/mm] + [mm]rv_{h}^{2}[/mm] = 0.
>
> => [mm]v_{h}(x)[/mm] = [mm]\bruch{m}{rx - c}[/mm] .
>
> Dann den partikulären Ansatz: [mm]v_{p}[/mm] = [mm]\bruch{m}{rx - c(x)}.[/mm]
>
> Eingesetzt in die Gleichung aus er Aufgabenstellung
> ergibt:
> -(r [mm]-c'(x))\bruch{m^{2}}{(rx - c(x))^{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{rm^{2}}{(rx - c(x))^{2}}[/mm] = K.
> Umgeformt komme ich auf: c'(x) = [mm]\bruch{K}{m^{2}}(rx[/mm] -
> [mm]c(x))^{2}[/mm] .
> Wie geht es jetzt weiter? Ich sehe wieder eine DGL für
> die 'Konstante'.
> Hab das auch aufm Blatt mal ausmultipliziert...aber mit
> Trennung der Variablen komm ich nicht weit? Also ich bekomm
> nicht alle c's unter einen Term damit ich integrieren kann
> ^^
> Ist das überhaupt richtig soweit? Weil die homogene
> Lösung habe ich überprüft und scheint korrekt zu sein.
>
> beste Grüße
> Tomislav
2 Kritikpunkte:
1. Du scheinst [mm] $x^{2}'$ [/mm] aufzufassen als [mm] (x')^2
[/mm]
Ob das wirklich so gemeint ist, und Du es nur falsch geschrieben hast, entzieht sich meiner Kenntnis.
2. Die Sache mit
allg. Lösung= allg. Lösung der homogenen Gleichung +spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
funktioniert nur bei linearen Dglen. Dein Dgl ist nicht linear.
FRED
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