DGL 1. Ordnung / Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösung der gewöhnlichen DGL 1. Ordnung:
[mm] \frac{\partial y}{\partial x} [/mm] = -A (y(x)+ B) |
Hallo,
ich will folgende DGL lösen:
[mm] \frac{\partial y}{\partial x} [/mm] = -A (y(x)+ B)
Ich subistituiere:
u = -A (y(x)+ B)
[mm] \frac{\partial u}{\partial x} [/mm] = -A [mm] \frac{\partial y}{\partial x} [/mm]
[mm] \frac{\partial y}{\partial x} [/mm] = [mm] -\frac{1}{A}\frac{\partial u}{ \partial x} [/mm]
[mm] -\frac{1}{A}\frac{\partial u}{ \partial x} [/mm] = u
[mm] \frac{1}{u}\frac{\partial u}{ \partial x} [/mm] = -A
[mm] \int \frac{\partial u}{ u } [/mm] = -A [mm] \int \partial [/mm] x
[mm] \ln [/mm] |u| - [mm] \ln [/mm] |C| = -A x
[mm] \frac{u}{C} [/mm] = [mm] e^{-Ax} [/mm]
u = C [mm] e^{-Ax} [/mm]
Rücksubstitution liefert:
-Ay +AB = C [mm] e^{-Ax} [/mm] --> y(x)= -1/A C [mm] e^{-Ax} [/mm] +B
Die Lösung sollte jedoch sein:
y(x)= C [mm] e^{-Ax} [/mm] + B
Wo liegt mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
falsch gemacht hast du fast nichts. Das Ergebnis unterscheidet sich ja nur im multiplikativen Faktor vor der Exponentialfunktion von der Musterlösung* (d.h. man hat nach wie vor für jede Lösung einen Wert für die Integrationskonstante, nur eben einen anderen).
Mir stellt sich die Frage, warum du die DGL so umständlich angehst: man benötigt hier keine Substitution, sondern nur die Trennung der Variablen (und dann sieht auch die allgemeine Lösung aus wie vorgegeben).
* Wie FRED schon angemerkt hat, haben wir beide einen (Vorzeichen-) Fehler gemacht und der steckt offensichtlich auch in der Musterlösung.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Sa 04.11.2017 | | Autor: | losPollos |
Ja stimmt, Du hast recht. Vielen Dank :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 So 05.11.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
beachte bitte auch noch die andere Antwort von Fred!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Sa 04.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Lösung der gewöhnlichen DGL 1. Ordnung:
> [mm]\frac{\partial y}{\partial x}[/mm] = -A (y(x)+ B)
> Hallo,
>
> ich will folgende DGL lösen:
> [mm]\frac{\partial y}{\partial x}[/mm] = -A (y(x)+ B)
>
> Ich subistituiere:
>
> u = -A (y(x)+ B)
> [mm]\frac{\partial u}{\partial x}[/mm] = -A [mm]\frac{\partial y}{\partial x}[/mm]
> [mm]\frac{\partial y}{\partial x}[/mm] = [mm]-\frac{1}{A}\frac{\partial u}{ \partial x}[/mm]
> [mm]-\frac{1}{A}\frac{\partial u}{ \partial x}[/mm] = u
> [mm]\frac{1}{u}\frac{\partial u}{ \partial x}[/mm] = -A
> [mm]\int \frac{\partial u}{ u }[/mm] = -A [mm]\int \partial[/mm] x
> [mm]\ln[/mm] |u| - [mm]\ln[/mm] |C| = -A x
> [mm]\frac{u}{C}[/mm] = [mm]e^{-Ax}[/mm]
> u = C [mm]e^{-Ax}[/mm]
>
> Rücksubstitution liefert:
> -Ay +AB = C [mm]e^{-Ax}[/mm] --> y(x)= -1/A C [mm]e^{-Ax}[/mm] +B
>
> Die Lösung sollte jedoch sein:
> y(x)= C [mm]e^{-Ax}[/mm] + B
>
> Wo liegt mein Fehler?
Ich kann Diophant nur zustimmen und dann auch wieder nicht, auch kann ich der Musterlösung nicht zustimmen.
Ist C=0, so soll also die konstante Funktion y(x)=B eine Lösung der Differentialgleichung sein. Das ist aber nicht der Fall (jedenfalls, wenn [mm] B\ne [/mm] 0 ist).
Eine spezielle Lösung der Differentialgleichung ist y(x)=-B.
Damit lautet die allgemeine Lösung so:
y(x)=Cexp(-Ax)-B
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 So 05.11.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo Fred,
> Ich kann Diophant nur zustimmen und dann auch wieder nicht,
> auch kann ich der Musterlösung nicht zustimmen.
>
Ja, da ist ein Vorzeichenfehler in der Rechnung des Themenstarters, den ich aus Versehen übernommen hatte.
Grüße & schönen Sonntag, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:07 Mo 06.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > Ich kann Diophant nur zustimmen und dann auch wieder
> nicht,
> > auch kann ich der Musterlösung nicht zustimmen.
> >
>
> Ja, da ist ein Vorzeichenfehler in der Rechnung des
> Themenstarters, den ich aus Versehen übernommen hatte.
>
>
> Grüße & schönen Sonntag, Diophant
Hallo Diophant,
es ist inzwischen Montag. Daher wünsche ich Dir, ein schönes Wochenende gehabt zu haben.
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