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| Aufgabe | Fließt Wasser aus einem zylinderförmigen Becken durch eine kreisförmige Öffnung ab, so gilt für die Höhe h(t) des Wasserspiegels
h' = [mm] -\bruch{A_{O}}{A_{G}}\wurzel{2gh} [/mm] , h(0) = [mm] h_{0},
[/mm]
wobei [mm] A_{O} [/mm] die Querschnittsfläche der Öffnung, [mm] A_{G} [/mm] die Querschnittsfläche des Gefäßes und g die Gravitationskonstante ist.
Wie lange dauert es, bis das Becken vollkommen entleert ist? |
Hallo,
ich fange mit dem Thema DGL erst an und weiß gerade nicht weiter.
Meine bisherigen Überlegungen:
Der Einfachheit halber ist [mm] \gamma=\bruch{A_{O}}{A_{G}}\wurzel{2g}
[/mm]
Damit ergibt sich:
h' = [mm] -\gamma\wurzel{h}
[/mm]
Durch Trennung der Variablen erhalte ich:
[mm] 2\wurzel{h} [/mm] = [mm] -\gamma [/mm] t
h = [mm] \bruch{1}{4}(-\gamma t)^{2}
[/mm]
Und jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich weiter verfahren soll. Soll ich h in die Ausgangsgleichung einsetzen?
Dann erhalte ich:
h' = [mm] \bruch{\gamma^{2}t}{2}
[/mm]
Alle weiteren Versuche, das irgendwie umzuformen und was nicht alles, scheiterten. Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte.
Freundliche Grüße,
Pingumane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Di 04.08.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Fließt Wasser aus einem zylinderförmigen Becken durch
> eine kreisförmige Öffnung ab, so gilt für die Höhe h(t)
> des Wasserspiegels
>
> h' = [mm]-\bruch{A_{O}}{A_{G}}\wurzel{2gh}[/mm] , h(0) =
> [mm]h_{0},[/mm]
>
> wobei [mm]A_{O}[/mm] die Querschnittsfläche der Öffnung, [mm]A_{G}[/mm] die
> Querschnittsfläche des Gefäßes und g die
> Gravitationskonstante ist.
>
> Wie lange dauert es, bis das Becken vollkommen entleert
> ist?
> Hallo,
>
> ich fange mit dem Thema DGL erst an und weiß gerade nicht
> weiter.
>
> Meine bisherigen Überlegungen:
>
> Der Einfachheit halber ist
> [mm]\gamma=\bruch{A_{O}}{A_{G}}\wurzel{2g}[/mm]
>
> Damit ergibt sich:
> h' = [mm]-\gamma\wurzel{h}[/mm]
>
> Durch Trennung der Variablen erhalte ich:
> [mm]2\wurzel{h}[/mm] = [mm]-\gamma[/mm] t
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Aus [mm] $\frac{\mathrm d h}{\mathrm d t}=-\gamma\sqrt [/mm] h$ folgt zunächst [mm] $2\sqrt h=-\gamma t+c_0$ [/mm] mit einer noch zu bestimmenden Integrationskonstante [mm] $c_0$.
[/mm]
> h = [mm]\bruch{1}{4}(-\gamma t)^{2}[/mm]
Deshalb ist diese Lösung falsch.
>
> Und jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich weiter
> verfahren soll. Soll ich h in die Ausgangsgleichung
> einsetzen?
Nein, was soll das bringen?
> Dann erhalte ich:
>
> h' = [mm]\bruch{\gamma^{2}t}{2}[/mm]
>
>
> Alle weiteren Versuche, das irgendwie umzuformen und was
> nicht alles, scheiterten. Ich wäre sehr froh, wenn mir
> jemand helfen könnte.
Bestimme erstmal die richtige Lösung und interpretiere sie dann, der Rest geht von alleine 
>
>
> Freundliche Grüße,
> Pingumane
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Mi 05.08.2015 | | Autor: | Pingumane |
Mein alter Feind, das + c ... Vielen Dank für den Hinweis :)
Der Rest ging dann tatsächlich recht gut. Zur Vervollständigung:
h' = [mm] -\gamma\wurzel{h}
[/mm]
[mm] 2\wurzel{h} [/mm] = [mm] -\gamma [/mm] t + c (1)
Anfangsbedingung h(0) = [mm] h_{0} [/mm] einsetzen:
[mm] 2\wurzel{h_{0}} [/mm] = c (2)
(1) nach h umformen:
h = [mm] \bruch{1}{4}(-\gamma [/mm] t + [mm] c)^{2}
[/mm]
Hier nun (2) eingesetzt:
h = [mm] \bruch{1}{4}(2\wurzel{h_{0}}-\gamma t)^{2}
[/mm]
Danke nochmals!
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