DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein 100 Liter Tank ist mit einer Salzlösung gefüllt, die 60g Salz enthält. Nun lässt man pro Minute 2 Liter Wasser in den Tank laufen und die durch ständiges Rühren homogen gehaltene Mischung läuft in gleichem Maß aus. Wie viel Salz befindet sich in einer Stunde noch im Tank? |
Habe mit DGL normal keine Schwierigkeiten doch bei diesem Text komm ich einfach auf keine Gleichung.
Könntet ihr mir bitte einen kleinen Tipp geben?
Ich habe diese Frage noch in keinem Forum auf andere Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 So 12.10.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
betrachte die Salzmenge s(t) zur Zeit t die in dem 100 Liter Tank enthalten ist. Die Salzmenge zur Zeit [mm] t+\Delta{t} [/mm] ist dann die Salzmenge zur Zeit t abzüglich der in der Zeit [mm] \Delta{t} [/mm] ausgeflossenen Menge Salz.
In der Zeit [mm] \Delta{t} [/mm] fliessen [mm] \left \bruch{\Delta{t}}{30} \right [/mm] Liter Wasser aus dem Becken. In dieser Wassermenge sind [mm] \left \bruch{\Delta{t}}{30*100}*s(t) \right [/mm] Gramm Salz enthalten.
Also ist die Salzmenge zur Zeit [mm] t+\Delta{t}
[/mm]
[mm] s(t+\Delta{t})=s(t)-\left \bruch{\Delta{t}}{30*100}*s(t) \right \Rightarrow
[/mm]
[mm] \dot{s(t)}=-\left \bruch{1}{30*100}*s(t) \right [/mm] und s(0)=60
mfg ullim
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Vielen Dank für die Antwort
Aber wie komme ich darauf das in der Zeit [mm] {\Delta t} \bruch{\Delta t}{30} [/mm] Wasser aus dem Tank ausfließen?
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> Vielen Dank für die Antwort
> Aber wie komme ich darauf das in der Zeit [mm]{\Delta t} \bruch{\Delta t}{30}[/mm]
> Wasser aus dem Tank ausfließen?
Ich denke, diese Angabe stimmt nicht.
In einer Minute, in welcher nur 2 Liter Lösung aus dem zunächst
vollen Tank abfliessen und noch kein frisches Wasser zufliesst,
würden von den anfänglichen 60g Salz [mm] \bruch{2}{100}*60g [/mm] =1.2 g
abfliessen. In Gramm gemessen gilt diese Salzabflussmenge pro
Zeiteinheit nur ganz am Anfang, jedoch in Relation zur jeweils
noch im Tank befindlichen Salzmenge bleibt sie konstant.
Die Abflussrate [mm] \Delta{s} [/mm] ist also gleich s/50 pro Minute oder
[mm] \bruch{ds}{dt}=-s/50 [/mm] (wenn man die Zeit in Minuten misst)
Als Ansatz für die Lösung der Differentialgleichung nimmt man
natürlich einen exponentiellen Ansatz, z.B.
[mm] s(t)=s_0*e^{-k*t}
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 So 12.10.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde mal sagen, wenn Du deine Rechnung von MInuten auf Sekunden umstellst kommst Du auf das gleiche wie ich.
mfg ullim
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> Hi,
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> ich würde mal sagen, wenn Du deine Rechnung von MInuten auf
> Sekunden umstellst kommst Du auf das gleiche wie ich.
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> mfg ullim
Oh, sorry.
Du stimmst aber mit mir wohl darüber ein, dass es wichtig ist, klarzustellen,
in welcher Zeiteinheit man rechnet ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Mo 13.10.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
natürlich ist es wichtig die Zeiteinheiten klarzustellen, das versteht sich ja von selbst. Ich nutze üblicherweise das SI System (Internationales Einheitensystem) in dem die Basisgrösse für die Zeit in Sekunden definiert ist.
Man konnte es an dem Ausdruck [mm] \bruch{\Delta{t}}{30} [/mm] erkennen, der ja entstanden ist aus [mm] \bruch{2 [Liter]}{60 [s]}=\bruch{1}{30} \left[ \bruch {Liter}{s} \right].
[/mm]
mfg ullim
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