DGL - Beispiel & Beweis < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 06.07.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe hier ein Beispiel einer Differentialgleichung und den Beweis dazu. Es gibt zwei Abschnitte im Beweis, die ich nicht 100%ig verstehe, und diese habe ich "rot" geschrieben.
Beispiel :
Betrachte [mm] f: \mathbb R^2 \to \mathbb R [/mm] mit [mm] f(x,y) = y^2 [/mm], d.h. die DGL [mm] y' = y^2 [/mm].
Eine Lösung [mm] \phi_0 : \mathbb R \to \mathbb R [/mm] ist gegeben durch [mm] \phi_\0 := 0 [/mm].
Weitere Lösungen sind die Funktionen [mm] x\to \bruch{1}{c-x} [/mm] für [mm] c \in \mathbb R [/mm].
Aufgabe :
Sei [mm] \phi_{c}^{+} : \left] c, \infty \right[ \to \mathbb R [/mm] und [mm] \phi_{c}^{-} : \left] - \infty, c \right[ \to \mathbb R [/mm] definiert durch
[mm] \phi_{c}^{+} := \bruch{1}{c-x} [/mm] und
[mm] \phi_{c}^{-} := \bruch{1}{c-x} [/mm] .
Zeige, dass alle Lösungen von [mm] y' = y^2 [/mm] Einschränkungen von
[mm] \phi_0 , \phi_{c}^{+} , \phi_{c}^{-} [/mm] mit [mm] c \in \mathbb R [/mm] sind!
Beweis :
a) Sei [mm] \phi: I \to \mathbb R [/mm] eine Lösung mit [mm] \phi (x) \ne 0 [/mm] für alle [mm] x \in I [/mm] .
Sei [mm] g(x) := - \bruch{1}{ \phi (x) } [/mm]
( Woher weiß man, dass man g so wählen muss ? )
Dann folgt:
[mm] f'(x) = \bruch{ \phi ' (x) }{ \phi (x) ^2 } = 1 \ \forall \ x \in I [/mm]
[mm] \Rightarrow \exists c \in \mathbb R [/mm] mit [mm] g(x) = x - c \ \forall \ x \in I [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(x) = - \bruch{1}{g(x) } = \bruch{1}{c-x} \ \forall \ x \in I [/mm].
b) Sei [mm] \phi: I \to \mathbb R [/mm] eine Lösung von [mm] y' = y^2 [/mm] und es gebe [mm] x_0 , x_1 \in I [/mm] mit [mm] \phi(x_0 ) = 0 , \phi(x_1) \ne 0 [/mm].
Wir wollen einen Widerspruch herleiten:
Sei o.B.d.A. [mm] x_0 < x_1 [/mm].
Sei [mm] \tilde x_0 := \max \{ x \in I | x < x_1 , \phi ( \tilde x_0 ) = 0 \} = [/mm] die größte Nullstelle von [mm] \phi [/mm] links von [mm] x_1 [/mm].
Weil [mm] \phi [/mm] stetig ist, gibt es ein [mm] x_2 > x_1 [/mm] , so dass [mm] \phi (x) \ne 0 [/mm] für [mm] x_1 \le x \le x_2 [/mm] .
( Warum kann die Funktion für diese x nicht Null sein ? )
Auf dem Intervall [mm] \left] \tolde x_0 , x_2 \right[ [/mm] hat [/mm] [mm] \phi [/mm] [/mm] keine Nullstellen, ist dort also von der Form [mm] \phi_{c}^{+}\mid_ {\left] \tilde x_0 , x_2 \right[} [/mm] oder [mm] \phi_{c}^{-} \mid_{\left] \tilde x_0 , x_2 \right[} [/mm] .
( Ist dies deshalb so, weil wir im Teil a) gezeigt haben, dass alle Lösung nur von der Form [mm] \phi_0, \phi_{c}^{+} , \phi_{c}^{-} [/mm] sein können ? )
Deswegen kann nicht [mm] \phi ( \tilde x_0 ) = 0 [/mm] sein.
Und dies ist ein Widerspruch.
Haben wir jetzt gezeigt, dass es zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] keine weiteren Nullstellen gibt? - Wenn ja, warum hat man das hier getan?
Wenn ich das richtig verstehe, dann haben wir im Teil a) gezeigt, dass alle Lösungen von dieser Form sind, richtig?'
Was haben wir in b) gezeigt?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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Hi, Irmchen,
> Ich habe hier ein Beispiel einer Differentialgleichung und
> den Beweis dazu. Es gibt zwei Abschnitte im Beweis, die ich
> nicht 100%ig verstehe, und diese habe ich "rot"
> geschrieben.
>
> Beispiel :
>
> Betrachte [mm]f: \mathbb R^2 \to \mathbb R[/mm] mit [mm]f(x,y) = y^2 [/mm],
> d.h. die DGL [mm]y' = y^2 [/mm].
> Eine Lösung [mm]\phi_0 : \mathbb R \to \mathbb R[/mm]
> ist gegeben durch [mm]\phi_\0 := 0 [/mm].
> Weitere Lösungen sind die
> Funktionen [mm]x\to \bruch{1}{c-x}[/mm] für [mm]c \in \mathbb R [/mm].
>
> Aufgabe :
>
> Sei [mm]\phi_{c}^{+} : \left] c, \infty \right[ \to \mathbb R[/mm]
> und [mm]\phi_{c}^{-} : \left] - \infty, c \right[ \to \mathbb R[/mm]
> definiert durch
> [mm]\phi_{c}^{+} := \bruch{1}{c-x}[/mm] und
> [mm]\phi_{c}^{-} := \bruch{1}{c-x}[/mm] .
>
> Zeige, dass alle Lösungen von [mm]y' = y^2[/mm] Einschränkungen von
> [mm]\phi_0 , \phi_{c}^{+} , \phi_{c}^{-} [/mm] mit [mm]c \in \mathbb R[/mm] sind!
>
> Beweis :
>
> a) Sei [mm]\phi: I \to \mathbb R[/mm] eine Lösung mit [mm]\phi (x) \ne 0[/mm]
> für alle [mm]x \in I[/mm] .
> Sei [mm]g(x) := - \bruch{1}{ \phi (x) }[/mm]
>
> ( Woher weiß man, dass man g so wählen muss ? )
Solche Ansätze sind immer etwas "trickreich". Da ist häufig reine Übung dabei, einen Ansatz zu finden, der letztlich zum Ziel führt.
Hier ist es ja so, dass der Zähler der Lösung konstant ist, der Nenner linear und zwar von der Form y=c-x. Daher ist die negativ-inverse Funktion linear (sogar y=x-c), ihre Ableitung konstant (=1).
Nun beweist man mit Hilfe der DGL (y' = [mm] y^{2}), [/mm] dass die Ableitung von g genau diese Eigenschaft besitzt (also =1 ergeben muss!), g folglich eben auch von der Form y=x+k bzw. y=x-c) sein muss und [mm] \Phi [/mm] daher nur die oben gegebene Gestalt haben kann - jedenfalls dann, wenn es keine Nullstelle gibt!
[mm] (\Phi(x) \not= [/mm] 0 !!)
> Dann folgt:
>
> [mm]f'(x) = \bruch{ \phi ' (x) }{ \phi (x) ^2 } = 1 \ \forall \ x \in I[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists c \in \mathbb R[/mm] mit [mm]g(x) = x - c \ \forall \ x \in I[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi(x) = - \bruch{1}{g(x) } = \bruch{1}{c-x} \ \forall \ x \in I [/mm].
>
> b) Sei [mm]\phi: I \to \mathbb R[/mm] eine Lösung von [mm]y' = y^2[/mm] und
> es gebe [mm]x_0 , x_1 \in I[/mm] mit [mm]\phi(x_0 ) = 0 , \phi(x_1) \ne 0 [/mm].
In Fall b wird nun also eine Funktion [mm] \Phi [/mm] angenommen, die "mindestens eine" Nullstelle hat. Anschließend zeigt man, dass dann diese Funktion konstant =0 sein muss!
[mm] (\Phi(x)=0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I).
> Wir wollen einen Widerspruch herleiten:
> Sei o.B.d.A. [mm]x_0 < x_1 [/mm].
> Sei [mm]\tilde x_0 := \max \{ x \in I | x < x_1 , \phi ( \tilde x_0 ) = 0 \} =[/mm]
> die größte Nullstelle von [mm]\phi[/mm] links von [mm]x_1 [/mm].
Die Beschreibung ("größte Nullstelle links von [mm] x_{1} [/mm] ") stimmt mit der mathematischen Schreibweise nicht überein!
Ich vermute, in der Mengen-Klammer soll [mm] \Phi(x) [/mm] = 0 stehen!?
> Weil [mm]\phi[/mm]
> stetig ist, gibt es ein [mm]x_2 > x_1[/mm] , so dass [mm]\phi (x) \ne 0[/mm]
> für [mm]x_1 \le x \le x_2[/mm] .
> ( Warum kann die Funktion für diese x nicht Null sein ? )
Weil es rechts von [mm] x_{1} [/mm] keine Nullstellen mehr gibt, wenn die größte Nullstelle in I (laut Voraussetzung) links von [mm] x_{1} [/mm] liegt!
> Auf dem Intervall [mm]\left] \tilde x_0 , x_2 \right[[/mm] hat [/mm] [mm]\phi[/mm][/mm]
> keine Nullstellen, ist dort also von der Form
> [mm]\phi_{c}^{+}\mid_ {\left] \tilde x_0 , x_2 \right[}[/mm] oder
> [mm]\phi_{c}^{-} \mid_{\left] \tilde x_0 , x_2 \right[}[/mm] .
>
>
> ( Ist dies deshalb so, weil wir im Teil a) gezeigt haben,
> dass alle Lösung nur von der Form [mm]\phi_0, \phi_{c}^{+} , \phi_{c}^{-}[/mm]
> sein können ? )
In a) haben wir gezeigt, dass eine Lösung [mm] \Phi, [/mm] die KEINE NULLSTELLE hat, nur von der Form [mm] \Phi(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{c-x} [/mm] sein kann!
> Deswegen kann nicht [mm]\phi ( \tilde x_0 ) = 0[/mm] sein.
> Und dies ist ein Widerspruch.
Weil die Funktion [mm] \Phi(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{c-x} [/mm] für x [mm] \to \tilde x_0 [/mm] nicht gegen 0 gehen kann, lässt sich diese Funktion links von [mm] \tilde x_0 [/mm] nicht stetig fortsetzen. Demnach kann bei [mm] \tilde x_0 [/mm] keine Nullstelle liegen!
> Haben wir jetzt gezeigt, dass es zwischen [mm]x_0[/mm] und [mm]x_1[/mm] keine
> weiteren Nullstellen gibt? - Wenn ja, warum hat man das
> hier getan?
> Wenn ich das richtig verstehe, dann haben wir im Teil a)
> gezeigt, dass alle Lösungen von dieser Form sind,
> richtig?
In a) wird gezeigt, dass Lösungen OHNE NULLSTELLEN von der Form [mm] \Phi(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{c-x} [/mm] sein müssen
> Was haben wir in b) gezeigt?
In b) wird gezeigt, dass eine Lösung, die an EINER Stelle =0 ist,
KONSTANT =0 sein muss: [mm] \Phi_{0} [/mm] !
mfG!
Zwerglein
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