DGL - Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
| Aufgabe | Hallo Matheprofis,
folgende Differentialgleichung ist gegeben:
[mm] \bruch{y'y}{x}+x^2=-1 [/mm] mit Anfangswertproblem y(1)=0.
Finden Sie eine Lösung der DGL (z.B im Intervall [1, [mm] \infty]
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie ohne Begründung, dass [mm] \bruch{1}{2}x^4+x^2-\bruch{3}{2}= \bruch{1}{2}(x-1)(x+1)(x^2+3) [/mm] gilt!
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Bitte um eure Hilfe leider komme ich nur annähernd an das Ergebnis und komme mit dieser Aufgabe nich zurecht vorallem was die richtige Lösung zwischen 1 und unendlich sein soll versteh ich nicht. Über einen detaillierten Lösungsvorschlag mit alles Zwischenschritten (für Dummies) wäre ich euch sehr dankbar.
Gruß
Mahat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Fr 04.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Trennung der Veränderlichen führt zum Ziel !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
ja danke diesen Ansatz habe ich bereits durch Trennung der variablen komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] \integral_{a}^{b}{(y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{(-x-x^3) dx}
[/mm]
daraus folgt dann:
[mm] \bruch{1}{2}y^2= -\bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x^4 [/mm] /*2
dann:
[mm] y^2 [/mm] = [mm] -x^2-\bruch{1}{2}x^4
[/mm]
und wie geht es jetzt weiter ? um auf die Lösung zu kommen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Fr 04.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Integrationsgrenzen a und b haben hier nichts zu suchen. Integriere unbestimmt und vergesse dabei nicht die Integrationskonstante c. Die brauchst Du , um die Anfangsbedingung anzupassen !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
vielen Dank für die schnelle Antwort.
dann integriere ich unbestimmt:
$ [mm] \integral_{}^{}{(y) dy} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{}^{}{(-x-x^3) dx} [/mm] $
daraus folgt dann:
$ [mm] \bruch{1}{2}y^2= -\bruch{1}{2}x^2 [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{4}x^4 [/mm] $ /*2
dann:
$ [mm] y^2 [/mm] $ = $ [mm] -x^2-\bruch{1}{2}x^4 [/mm] $ + C (für x = 1 einsetzen laut Anfangswertproblem y(1):
ist dies dann richtig ?
[mm] y^2= [/mm] $ [mm] -x^2-\bruch{1}{2}x^4 [/mm] $ + [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
und was ist der nächste Schritt ?
danke
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> [mm]y^2=[/mm] [mm]-x^2-\bruch{1}{2}x^4[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> und was ist der nächste Schritt ?
Hallo,
da Du doch nun y² dastehen hast und y haben möchtest, ist der nächste Schritt eigentlich sehr naheliegend, oder?
Im Zusammenhang mit dem Wurzelziehen mußt Du Dir noch Gedanken machen darüber, in welchen Bereichen [mm]-x^2-\bruch{1}{2}x^4[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] nichtnegativ ist. Hier hilft der Hinweis aus der Aufgabenstellung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort laut deinem Tipp muß ich jetzt die Wurzel ziehen auf der rechten Seite wenn ich links nur noch y stehen haben will.
$ [mm] y^2= [/mm] $ $ [mm] -x^2-\bruch{1}{2}x^4 [/mm] $ - $ [mm] \bruch{3}{2} [/mm] $
dann Wurzel ziehen:
$ y= [mm] \wurzel{-x^2-\bruch{1}{2}x^4 - \bruch{3}{2}} [/mm] $
daraus folgt dann da im Quadrat immer + ergibt also nicht negativ ?
$ y= [mm] \wurzel{x^2+\bruch{1}{2}x^4 - \bruch{3}{2}} [/mm] $
Hier ist meine Unsicherheit ich weis nicht ob das hier richtig ist und ob ich das so aus dem Hinweis ableiten kann.
jetzt lässt sich folgendes unter der Wurzel auch so wie im Hinweis schreiben:
[mm] \bruch{1}{2}(x-1)(x+1)(x^2+3)
[/mm]
Wenn ich für x = 1 setze dann kommt für y = 0 raus. Ist dies nicht schon die Lösung oder soll ich eine weitere Lösung finden ? Der Hinweis mit (z.B 1- [mm] \infty) [/mm] irritiert mich an dieser Stelle.
Bitte um weitere Tipps wie ich darauf komme ?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Fr 04.07.2008 | | Autor: | fred97 |
In welchen Intervallen ist
$ [mm] \bruch{1}{2}x^4+x^2-\bruch{3}{2}= \bruch{1}{2}(x-1)(x+1)(x^2+3) [/mm] $
größergleich 0 und in welchen Intervallen ist es kleinergleich 0 ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
< In welchen Intervallen ist
< $ [mm] \bruch{1}{2}x^4+x^2-\bruch{3}{2}= \bruch{1}{2}(x-1)(x+1)(x^2+3) [/mm] $
< größergleich 0 und in welchen Intervallen ist es kleinergleich 0 ?
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Ich würde folgendes sagen:
Im Intervall 1 - [mm] \infty \ge [/mm] 0
Im Intervall - [mm] \infty [/mm] - 0 [mm] \le [/mm] 0
Ist das richtig ? Bitte auch wenn es geht sagen ob das mit meiner Wurzelausführung richtig war ?
vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
falsch jetzt fällt es mir auf:
$ [mm] \bruch{1}{2}x^4+x^2-\bruch{3}{2}= \bruch{1}{2}(x-1)(x+1)(x^2+3) [/mm] $
im Intervall von 1 - [mm] \infty \ge [/mm] 0
und im Intervall - [mm] \infty [/mm] - 1 [mm] \le [/mm] 0
bei 1 und -1 ergibt für y = 0
ist das jetzt richtig und ist das die Lösung ? für x=1 und x = -1 --> y = 0 ?
vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Fr 04.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Nein deine Wurzel in der zweiten Darstellung ist falsch!
wenn [mm] y^2=A(x) [/mm] irgendwo steht, kannst du nicht einfach auf [mm] y^2=-A(x) [/mm] umschalten für die Fäaale, wo A(x)<0
es ist einfach so, falls A(x)<0 existiert keine Lösung!
2. > < In welchen Intervallen ist
>
> < [mm]\bruch{1}{2}x^4+x^2-\bruch{3}{2}= \bruch{1}{2}(x-1)(x+1)(x^2+3)[/mm]
>
>
> < größergleich 0 und in welchen Intervallen ist es
> kleinergleich 0 ?
>
>
> Im Intervall 1 - [mm]\infty \ge[/mm] 0
> Im Intervall - [mm]\infty[/mm] - 0 [mm]\le[/mm] 0
Wenn man sowas hinschreibt, muss man es begründen! Dann spätestens merkst du, dass es falsch ist.
einfach rumraten ist schlecht! mindesten x=-10 oder so hättest du ja zur Überprüfung mal einsetzen können!
natürlich ist für die allg. Lösg [mm] y=\pm [/mm] wurzel{...}
[mm] x^2+3 [/mm] ist >0 für alle x. bleibt (x-1)*(x+1) das ist >0 wenn beide Faktoren >0 ODER wenn beide <0!
Wenn du das Produkt zusammenfasst siehst du auch, für Welche x es kleiner 0 ist.
Und da du das negative als A(x) hast, welche Folgerung für ie Lösung y hast du dann.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Leider komme ich nicht drauf was du meinst das mit - * - plus ergibt ist mir leider nicht aufgegallen, danke.
(x-1)(x+1) --> kann das überhaupt < 0 werden ? ich sehe leider keine Möglichkeit ? Bitte um einen Tip.
Und was die Wurzelausführung betrifft bin ich leider nicht dahinter gekommen wie du das meinst da fehlt mir im Moment das Wissen.
Für weiter Tipps wäre ich dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
natürlich kann es:
(x-1)(x+1) für z.B für x = 0,5 = -0,75 (hatte viele Tomaten auf den Augen und bin auch etwas übermüdet)
sorry für die Dumme frage ?
Das mit der Wurzel habe ich aber trotzdem nicht verstanden
danke
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> natürlich kann es:
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> [mm] (x-1)(x+1)\le [/mm] 0 für z.B für x = 0,5 und x= -0,75
Hallo,
ja, und nun gibt das Intervall an, [mm] x\in [/mm] [...,...]
Gruß v. Angela
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> Leider komme ich nicht drauf was du meinst das mit - * -
> plus ergibt ist mir leider nicht aufgegallen, danke.
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> (x-1)(x+1) --> kann das überhaupt < 0 werden ? ich sehe
> leider keine Möglichkeit ? Bitte um einen Tip.
>
> Und was die Wurzelausführung betrifft bin ich leider nicht
> dahinter gekommen wie du das meinst da fehlt mir im Moment
> das Wissen.
Hallo,
na, das glaube ich nicht, daß Dir heirfür das Wissen fehlt - vielleicht ist es in der hektik gerade verschüttet, aber sicher vorhanden.
In einem der vorhergehenden Posts schriebst Du, daß y= [mm] \wurzel{-x^2-\bruch{1}{2}x^4 - \bruch{3}{2}} [/mm] das gleiche ist wie $ y= [mm] \wurzel{x^2+\bruch{1}{2}x^4 - \bruch{3}{2}} [/mm] $.
Und das stimmt eben nicht. denn wäre [mm] y=\wurzel{A} [/mm] das gleiche wie [mm] y=y=\wurzel{-A} [/mm] , dann wäre doch y²=A=--A, und es gibt nur ein einziges A, für welches das der fall ist.
Du darfst also nicht nach Lust und Laune unter der Wurze das Vorzeichen ändern.
Richtig ist also y= [mm] \wurzel{-x^2-\bruch{1}{2}x^4 - \bruch{3}{2}}, [/mm] und hier mußt Du Dir nun überlegen, für welche x diese Funktion definiert ist.
Das ist überall dort der Fall, wo [mm] -x^2-\bruch{1}{2}x^4 [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}= -\bruch{1}{2}(x-1)(x+1)(x^2+3) [/mm] $ größergleich 0 ist.
Das ist der Fall, wenn [mm] \bruch{1}{2}(x-1)(x+1)(x^2+3)\le [/mm] 0.
Es würde schon festgestellt, daß [mm] (x^2+3) [/mm] immer positiv ist, Du kannst Dich also auf die Untersuchung von (x-1)(x+1)=x²-1 beschränken.
Wann ist das kleienr als 0?
Wenn es Dir gar nicht einfällt, kannst Du ja eine kl. Skizze zur Hilfe nehmen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Fr 04.07.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Angela,
ich habe als spezielle Lösung heraus:
[mm] $y=\pm\wurzel{-\bruch{1}{2}*x^4-x^2+\bruch{3}{2}}$
[/mm]
weil ja laut Anfangsbedingung y(1)=0 sein soll.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
Hallo,
danke für die ausführliche richtigstellung meiner Wurzelausführung und dem Tip für [mm] \le [/mm] 0.
Das Intervall wäre dann für $ [mm] x\in [/mm] $ [0 [mm] \ge [/mm] x < 1] --> richtig und das ist also die Lösung die ich hinschreiben muß und hätte ich mir dann das ganze vorher sparen können wenn es heißt Verwenden sie ohne Begründung ?
Warum ist dann im Hinweis das Intervall [1, [mm] \infty] [/mm] angegeben was ja nur für y [mm] \ge [/mm] 0 gilt ?
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
es muß natürlich heißen:
Das Intervall wäre dann für $ [mm] x\in [/mm] $ [0 $ [mm] \le [/mm] $ x < 1] --> richtig und das ist also die Lösung die ich hinschreiben muß und hätte ich mir dann das ganze vorher sparen können wenn es heißt Verwenden sie ohne Begründung ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Fr 04.07.2008 | | Autor: | mahat78 |
schön das es so ein Forum gibt, ich denke ich hab es jetzt verstanden.
vielen herzlichen Dank nochmal an alle.
Gruß
Mahat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Fr 04.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch noch mal genau auf, wann dein Ausdruck unter der Wurzel [mm] \ge [/mm] 0 ist bei dir steht: x muss kleiner 0 sein und x muss kleiner 1 sein! Was soll das bedeuten? gib ein Intervall für x an.
in der Aufgabe steht , dass du ein Intervall angeben sollst, [mm] [1,\infty) [/mm] ist nur ein Beispiel!
und was du ohne Beweis verwenden darfst, ist nur die Produktdarstellung des Polynoms!
Also tief durchatmen und exakt aufschreiben, was du weisst. (Manchmal hilft auch das plotten der Funktion mit oder ohne Wurzel!
Gruss leduart
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> Über einen detaillierten
> Lösungsvorschlag mit alles Zwischenschritten (für Dummies)
> wäre ich euch sehr dankbar.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Lösung mit allen Zwischenschritten aufzuschreiben, ist Deine Aufgabe...
Da Du ganz neu bei uns bist, lies Dir bitte einmal unsere Forenregeln durch, insbesondere den Passus über die erwünschten eigenen Lösungsansätze.
Dieses Forum versteht sich nicht als Lösungsmaschine; Aufgaben mundgerecht zum Abschreiben vorrechnen tun wir i.a. nicht.
Wir helfen aber gerne und - bei entsprechenden Bemühungen des Gegenübers - mitunter ziemlich ausdauernd dabei, allmählich eine Lösung entstehen zu lassen.
Gruß v. Angela
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