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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - DGL
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DGL: Schroedinger Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Sa 17.12.2011
Autor: lisa11

Aufgabe
Eine Wellenfunktion ist gegeben mit:
1) [mm] d^2\psi/dx^2 [/mm] = [mm] E\psi [/mm]  

mit 0<x<L
2) [mm] \psi(0)=0, \psi(L)=0 [/mm]
Der eigenwert E ist die Energie des Elektrons. In der Aufgabe soll [mm] \psi(x) [/mm] sowohl analytisch wie numerisch bestimmt werden.

a)
Finden Sie die analytische Loesung des RWPS(1,2). Setzen Sie dazu den Ansatz [mm] \psi(x) [/mm] = Asin(kx)+B*cos(kx) in(1) und 2) ein und bestimmen Sie k,E und [mm] \psi(x) [/mm]

guten Tag,

mein Ansatz:
[mm] d^2*(A*sin(k*x)+B*cos(kx)/dx^2= [/mm] E*A(sin(kx)+B*cos(kx))
->
E = [mm] -A*sin(kx)*k^2-B*cos(kx)*k2/(A*sin(kx)+B*cos(k*x)) [/mm]



[mm] \psi(0)=0 [/mm]
->A*sin(0)+B*cos(0)=0
-> B=0

[mm] \psi(L) [/mm] = 0
A*sin(kL) = -B*cos(kL)
->k= atan(-B/A)*1/L
-> k =atan(inf)*1/L
-> k=L*Pi/2

        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Sa 17.12.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Eine Wellenfunktion ist gegeben mit:
>  1) [mm]d^2\psi/dx^2[/mm] = [mm]E\psi[/mm]  
>
> mit 0<x<L
>  2) [mm]\psi(0)=0, \psi(L)=0[/mm]
>  Der eigenwert E ist die Energie
> des Elektrons. In der Aufgabe soll [mm]\psi(x)[/mm] sowohl
> analytisch wie numerisch bestimmt werden.
>  
> a)
> Finden Sie die analytische Loesung des RWPS(1,2). Setzen
> Sie dazu den Ansatz [mm]\psi(x)[/mm] = Asin(kx)+B*cos(kx) in(1) und
> 2) ein und bestimmen Sie k,E und [mm]\psi(x)[/mm]
>  guten Tag,
>  
> mein Ansatz:
>   [mm]d^2*(A*sin(k*x)+B*cos(kx)/dx^2=[/mm] E*A(sin(kx)+B*cos(kx))
>  ->
>   E = [mm]-A*sin(kx)*k^2-B*cos(kx)*k2/(A*sin(kx)+B*cos(k*x))[/mm]

[mm] $=-k^2$ [/mm]

>  
>
>
> [mm]\psi(0)=0[/mm]
>   ->A*sin(0)+B*cos(0)=0
>   -> B=0

[ok]

>  
> [mm]\psi(L)[/mm] = 0
>   A*sin(kL) = -B*cos(kL)

Du hast doch oben ausgerechnet, dass B=0.

-> [mm] $A\sin(kL)=0$ [/mm]

überleg Dir mal, wann das erfüllt ist (Tipp: es gibt nicht nur eine Lösung).

>   ->k= atan(-B/A)*1/L
> -> k =atan(inf)*1/L
>   -> k=L*Pi/2

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Sa 17.12.2011
Autor: lisa11

Aufgabe
wie oben

A*sin(kL)= 0
--> k = 0,Pi

Bezug
                        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Sa 17.12.2011
Autor: notinX


> wie oben
>  A*sin(kL)= 0
>  --> k = 0,Pi

$ [mm] A\sin(kL)=0 \Leftrightarrow kL=n\pi\Rightarrow k=\frac{n\pi}{L}$ [/mm] mit [mm] $n\in\mathbb{Z}$ [/mm]

Gruß,

notinX

Bezug
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