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Hallo liebes Team,
ich rechne gerade an einer exakten DGL.
Die Intergrabilitätsbedingung ist nicht erfüllt, aber ich kann sie mit einen Integrierenden Faktor erweitern, damit sie exakt wird.
Unser Prof. hat hat uns ein Tipp gegeben das er die Gestalt:
[mm] \lambda(\frac{x}{y})
[/mm]
Meine Frage ist ,wie sieht die partielle Ableitung aus( nach x und nach y)
[mm] \frac{\partial \lambda}{\partial x}=\lambda '(\frac{x}{y})*\frac{1}{y}
[/mm]
[mm] \frac{\partial \lambda}{\partial y}=\lambda '(\frac{x}{y})* \frac{-x}{y^2}
[/mm]
Sind meine Rechnungen richtig???
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebes Team,
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> ich rechne gerade an einer exakten DGL.
> Die Intergrabilitätsbedingung ist nicht erfüllt, aber ich
> kann sie mit einen Integrierenden Faktor erweitern, damit
> sie exakt wird.
> Unser Prof. hat hat uns ein Tipp gegeben das er die
> Gestalt:
> [mm]\lambda(\frac{x}{y})[/mm]
> Meine Frage ist ,wie sieht die partielle Ableitung aus(
> nach x und nach y)
> [mm]\frac{\partial \lambda}{\partial x}=\lambda '(\frac{x}{y})*\frac{1}{y}[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial \lambda}{\partial y}=\lambda '(\frac{x}{y})* \frac{-x}{y^2}[/mm]
>
> Sind meine Rechnungen richtig???
Deine bezeichnungsweise ist etwas unglücklich
Setze [mm] $\mu(x,y) [/mm] := [mm] \lambda(\frac{x}{y}) [/mm] $
Dann ist
[mm]\frac{\partial \mu}{\partial x}=\lambda '(\frac{x}{y})*\frac{1}{y}[/mm]
und
[mm]\frac{\partial \mu}{\partial y}=\lambda '(\frac{x}{y})* \frac{-x}{y^2}[/mm]
FRED
>
> LG
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Die GDGL lautet:
[mm] (x^2+y^2+x)dx+ydy=0
[/mm]
Ich komme irgendwie nicht weiter:
[mm] \lambda'(\frac{x}{y})*(\frac{-x^3}{y^2}-x-\farc{x^2}{y^2})=\lambda'(\frac{x}{y})
[/mm]
das geht doch nicht????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die GDGL lautet:
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> [mm](x^2+y^2+x)dx+ydy=0[/mm]
>
> Ich komme irgendwie nicht weiter:
>
> [mm]\lambda'(\frac{x}{y})*(\frac{-x^3}{y^2}-x-\farc{x^2}{y^2})=\lambda'(\frac{x}{y})[/mm]
>
> das geht doch nicht????
Bestimme den integrierenden Faktor [mm] \lambda(\frac{x}{y}) [/mm]
und multipliziere die Gl.
[mm](x^2+y^2+x)dx+ydy=0[/mm]
damit durch
FRED
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hallo fred.
wie bestimme ich denn den Integrierenden Faktor?
Ich bin in einer Sackgasse:
$ [mm] \lambda'(\frac{x}{y})\cdot{}(\frac{-x^3}{y^2}-x-\farc{x^2}{y^2})=\lambda'(\frac{x}{y}) [/mm] $
da geht es doch nicht weiter..?
oder muss ich irgendetwas beachten???
LG
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Hi!
Wenn ihr dazu noch keinen Satz hattet, dann überleg doch aml was der integrierende Faktor veranlassen soll. Durch ihn soll doch gerade die Integrabilitätsbedingung erfüllt werden, d.h. hat die Differentialgleichung die Form
[mm]g(x,y)dx+h(x,y)dy=0[/mm]
so soll
[mm] $\frac{\partial}{\partial y} (\mu(x,y)g(x,y))=\frac{\partial}{\partial x} (\mu(x,y)h(x,y))$
[/mm]
gelten. Darau kann man ableiten (Wie?), dass:
[mm] $\mu(x,y)\left(\frac{\partial g(x,y)}{\partial y} - \frac{\partial h(x,y)}{\partial x}\right) [/mm] = [mm] h(x,y)\frac{\partial \mu(x,y)}{\partial x} -g(x,y)\frac{\partial \mu(x,y)}{\partial y}$
[/mm]
Setz darin mal die entsprechenden Ausdrücke für deine Differentialgleichung ein, was erhälst du dann?
Gruß
Deuterinomium
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Hallo,
ich verstehe leider deine Frage nicht :-(
Ich habe das schon ausgerechnet... Schreibe es noch mal hin
Ich bekomme dann heraus:habe es schon umgestellt und ausgeklmmert.
[mm] \lambda'\vektor{x \\ y}*(\frac{-x}{y^2}+\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{x^2}{y^2})=0
[/mm]
da geht es doch nicht mehr weiter, ich kann es doch nicht mehr umformen...
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich verstehe leider deine Frage nicht :-(
>
> Ich habe das schon ausgerechnet... Schreibe es noch mal
> hin
>
> Ich bekomme dann heraus:habe es schon umgestellt und
> ausgeklmmert.
>
> [mm]\lambda'\vektor{x \\ y}*(\frac{-x}{y^2}+\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{x^2}{y^2})=0[/mm]
Wie kommst Du darauf ?
FRED
>
> da geht es doch nicht mehr weiter, ich kann es doch nicht
> mehr umformen...
>
> lg
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Am besten schreibe ich meinen kompletten Rechnungsweg auf:
[mm] P(x,y)=x^2+y^2+x
[/mm]
Q(x,y)=y
Die Integrabilitätsbedingung ist nicht erfüllt.
Daraus ergibt sich folgender Ansatz(mit inte. [mm] Faktor\mu(x,y)=\lambda(\farc{x}{y}) [/mm] )
[mm] \frac{\partial (\lambda( \farc{x}{y}) *P(x,y)) }{\partial y}=\frac{\partial (\lambda( \farc{x}{y})*Q(x,y))}{\partial y}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda'(\frac{x}{y})*\frac{-x}{y^2}*(x^2+y^2+x)+\lambda(\frac{x}{y})*2y=\lambda'(\frac{x}{y})*\frac{1}{y}*y
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda(\frac{x}{y})*2y=\lambda'(\frac{x}{y})*(1-\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{x^2}{y^2})
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda'(\frac{x}{y})=\lambda(\frac{x}{y})*\frac{2y}{1-\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{x^2}{y^2}}
[/mm]
Ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter. Ist die Rechnung überhaupt richtig??
Liebe Grüße
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es soll [mm] \mu(x,y)=\lambda(\frac{x}{y}) [/mm] heißen
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hat den wirklich keiner einen tipp für mich??????
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Hallo Sachsen-Junge,
> Am besten schreibe ich meinen kompletten Rechnungsweg auf:
>
> [mm]P(x,y)=x^2+y^2+x[/mm]
> Q(x,y)=y
>
> Die Integrabilitätsbedingung ist nicht erfüllt.
>
> Daraus ergibt sich folgender Ansatz(mit inte.
> [mm]Faktor\mu(x,y)=\lambda(\farc{x}{y})[/mm] )
>
> [mm]\frac{\partial (\lambda( \farc{x}{y}) *P(x,y)) }{\partial y}=\frac{\partial (\lambda( \farc{x}{y})*Q(x,y))}{\partial y}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\lambda'(\frac{x}{y})*\frac{-x}{y^2}*(x^2+y^2+x)+\lambda(\frac{x}{y})*2y=\lambda'(\frac{x}{y})*\frac{1}{y}*y[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\lambda(\frac{x}{y})*2y=\lambda'(\frac{x}{y})*(1-\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{x^2}{y^2})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\lambda'(\frac{x}{y})=\lambda(\frac{x}{y})*\frac{2y}{1-\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{x^2}{y^2}}[/mm]
>
> Ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter. Ist die Rechnung
> überhaupt richtig??
Das muß hier doch so lauten:
[mm]\lambda'(\frac{x}{y})=\lambda(\frac{x}{y})*\frac{2y}{1\red{+}\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{x^2}{y^2}}[/mm]
Für das Polynom
[mm]\frac{2y}{1+\frac{x^3}{y^2}+x+\frac{x^2}{y^2}}[/mm]
wendest Du die Partialbruchzerlegung an.
Eine Nullstelle des Nennerpolynoms ist leicht zu erraten.
>
> Liebe Grüße
>
>
Gruß
MathePower
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danke, jetzt habe ich es endlich.
LG
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
