DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Fr 12.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen bzw. Anfangswertprobleme:
a) y ' (x) = [mm] \bruch{2}{x}*\wurzel(y)
[/mm]
b) 2*y '' + 8*y' +4 = 0 ; y(0) = -1 ; y ' (0) = - [mm] \bruch{17}{2} [/mm] |
Moin,
bei a) bin ich zunächst an der Trennung der Variablen gescheitert.
y ' (x) = [mm] \bruch{2}{x}*\wurzel(y)
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x}*\wurzel(y)
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{\wurzel{y}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x}*dx
[/mm]
aber führt das überhaupt weiter???
bei b)
1. Homogene Lösung [mm] y_h
[/mm]
2*y '' + 8*y' = 0
y '' + 4*y' = 0
[mm] \lambda^2 +4*\lambda [/mm] + 0 = 0
Anmerkung: Da in der gleichung y '' + [mm] a_1*y [/mm] ' + [mm] a_2*y [/mm] = s kein y vorkommt, ist [mm] a_2 [/mm] = 0.
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] = -4
[mm] y_1 [/mm] = [mm] C_1*e^{\lambda_1*x} [/mm]
[mm] y_2 [/mm] = [mm] C_2*e^{lambda_2*x}
[/mm]
[mm] y_1 [/mm] = [mm] C_1 [/mm]
[mm] y_2 [/mm] = [mm] C_2*e^{-4x}
[/mm]
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1 +C_2*e^{-4x}
[/mm]
2. partikuläre Lösung
[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2}
[/mm]
Da [mm] a_2 [/mm] = 0 ist gibt es keine partikuläre Lösung. Richtig???
Danke für eure Hilfe!
|
|
| |
|
Hallo hase-hh!
> bei a) bin ich zunächst an der Trennung der Variablen
> gescheitert.
>
> y ' (x) = [mm]\bruch{2}{x}*\wurzel(y)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{2}{x}*\wurzel(y)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{\wurzel{y}}[/mm] = [mm]\bruch{2}{x}*dx[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber führt das überhaupt weiter???
Ja, nun auf beiden Seiten der Gleichung integrieren.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 12.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
> > bei a) bin ich zunächst an der Trennung der Variablen
> > gescheitert.
> >
> > y ' (x) = [mm]\bruch{2}{x}*\wurzel(y)[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{2}{x}*\wurzel(y)[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{dy}{\wurzel{y}}[/mm] = [mm]\bruch{2}{x}*dx[/mm]
>
>
>
>
> > aber führt das überhaupt weiter???
>
> Ja, nun auf beiden Seiten der Gleichung integrieren.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{y}} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{2*x^{-1} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{y^{- \bruch{1}{2}} dy} [/mm] = [mm] 2*\integral_{}^{}{x^{-1} dx}
[/mm]
- [mm] \wurzel{y} [/mm] + C = 2* ln x +C
y = 4 ( ln [mm] x)^2 [/mm]
Ist das so richtig?
Ist das schon die Lösung? Wie geht es weiter???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Fr 12.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
vielen Dank für Deine Antwort.
Also hätte ich
[mm] 2*\wurzel{y} [/mm] + c1 = 2*ln |x| +c2
[mm] \wurzel{y} [/mm] = ln |x| + c3
y = (ln |x| [mm] )^2 [/mm] 2*c3*ln |x| +c3
Da kann ich keine einschränkungen für x erkennen, da du ja jeweils den betrag von ln x nimmst???
Wie geht es weiter?
|
|
|
| |
|
Hallo hase-hh,
> Moin,
>
> vielen Dank für Deine Antwort.
>
> Also hätte ich
>
> [mm]2*\wurzel{y}[/mm] + c1 = 2*ln |x| +c2
>
> [mm]\wurzel{y}[/mm] = ln |x| + c3
>
> y = (ln |x| [mm])^2[/mm] 2*c3*ln |x| +c3
>
> Da kann ich keine einschränkungen für x erkennen, da du ja
> jeweils den betrag von ln x nimmst???
Nun, der ln hat ja eine Einschränkung.
>
> Wie geht es weiter?
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Fr 12.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo hase-hh,
>
> > Moin,
> >
> > vielen Dank für Deine Antwort.
> >
> > Also hätte ich
> >
> > [mm]2*\wurzel{y}[/mm] + c1 = 2*ln |x| +c2
> >
> > [mm]\wurzel{y}[/mm] = ln |x| + c3
> >
> > y = (ln |x| [mm])^2[/mm] 2*c3*ln |x| +c3
> >
> > Da kann ich keine einschränkungen für x erkennen, da du ja
> > jeweils den betrag von ln x nimmst???
>
>
> Nun, der ln hat ja eine Einschränkung.
Na gut. ln 0 ist nicht definiert.
D= R \ {0}
Bin ich dann fertig?
|
|
|
| |
|
Hallo hase-hh,
> > Hallo hase-hh,
> >
> > > Moin,
> > >
> > > vielen Dank für Deine Antwort.
> > >
> > > Also hätte ich
> > >
> > > [mm]2*\wurzel{y}[/mm] + c1 = 2*ln |x| +c2
> > >
> > > [mm]\wurzel{y}[/mm] = ln |x| + c3
> > >
> > > y = (ln |x| [mm])^2[/mm] 2*c3*ln |x| +c3
> > >
> > > Da kann ich keine einschränkungen für x erkennen, da du ja
> > > jeweils den betrag von ln x nimmst???
> >
> >
> > Nun, der ln hat ja eine Einschränkung.
>
> Na gut. ln 0 ist nicht definiert.
>
> D= R \ {0}
>
> Bin ich dann fertig?
>
Ja.
Nach dem Artikel von schachuzipus gibt es dann eine Lösung
für x>0 und eine Lösung für x<0.
>
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo hase-hh,
> Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen bzw.
> Anfangswertprobleme:
>
>
> b) 2*y '' + 8*y' +4 = 0 ; y(0) = -1 ; y ' (0) = -
> [mm]\bruch{17}{2}[/mm]
> Moin,
>
>
> bei b)
>
> 1. Homogene Lösung [mm]y_h[/mm]
>
> 2*y '' + 8*y' = 0
>
> y '' + 4*y' = 0
>
> [mm]\lambda^2 +4*\lambda[/mm] + 0 = 0
>
> Anmerkung: Da in der gleichung y '' + [mm]a_1*y[/mm] ' + [mm]a_2*y[/mm] = s
> kein y vorkommt, ist [mm]a_2[/mm] = 0.
>
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda_2[/mm] = -4
>
> [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm]
>
> [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{lambda_2*x}[/mm]
>
> [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1[/mm]
>
> [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{-4x}[/mm]
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1 +C_2*e^{-4x}[/mm]
>
>
> 2. partikuläre Lösung
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
>
> Da [mm]a_2[/mm] = 0 ist gibt es keine partikuläre Lösung.
> Richtig???
>
Nein.
Da die Konstante auch eine Lösung der homogenen DGL ist,
wird hier der Ansatz [mm]y_{p}\left(x\right)=Ax[/mm] gemacht.
Damit solltest Du auf die partikuläre Lösung kommen.
>
> Danke für eure Hilfe!
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Fr 12.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo hase-hh,
>
> > Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen bzw.
> > Anfangswertprobleme:
> >
>
> >
> > b) 2*y '' + 8*y' +4 = 0 ; y(0) = -1 ; y ' (0) = -
> > [mm]\bruch{17}{2}[/mm]
>
> > Moin,
> >
>
> >
> > bei b)
> >
> > 1. Homogene Lösung [mm]y_h[/mm]
> >
> > 2*y '' + 8*y' = 0
> >
> > y '' + 4*y' = 0
> >
> > [mm]\lambda^2 +4*\lambda[/mm] + 0 = 0
> >
> > Anmerkung: Da in der gleichung y '' + [mm]a_1*y[/mm] ' + [mm]a_2*y[/mm] = s
> > kein y vorkommt, ist [mm]a_2[/mm] = 0.
> >
> >
> > [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> >
> > [mm]\lambda_2[/mm] = -4
> >
> > [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm]
> >
> > [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{lambda_2*x}[/mm]
> >
> > [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1[/mm]
> >
> > [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{-4x}[/mm]
> >
> > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1 +C_2*e^{-4x}[/mm]
>
>
>
>
>
> >
> >
> > 2. partikuläre Lösung
> >
> > [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
> >
> > Da [mm]a_2[/mm] = 0 ist gibt es keine partikuläre Lösung.
> > Richtig???
> >
>
>
> Nein.
>
> Da die Konstante auch eine Lösung der homogenen DGL ist,
> wird hier der Ansatz [mm]y_{p}\left(x\right)=Ax[/mm] gemacht.
>
> Damit solltest Du auf die partikuläre Lösung kommen.
Danke für Deine Antwort. Und wie geht das?
Kannst Du mir vielleicht ein Beispiel geben?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo hase-hh,
> > Hallo hase-hh,
> >
> > > Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen bzw.
> > > Anfangswertprobleme:
> > >
> >
> > >
> > > b) 2*y '' + 8*y' +4 = 0 ; y(0) = -1 ; y ' (0) = -
> > > [mm]\bruch{17}{2}[/mm]
> >
> > > Moin,
> > >
> >
> > >
> > > bei b)
> > >
> > > 1. Homogene Lösung [mm]y_h[/mm]
> > >
> > > 2*y '' + 8*y' = 0
> > >
> > > y '' + 4*y' = 0
> > >
> > > [mm]\lambda^2 +4*\lambda[/mm] + 0 = 0
> > >
> > > Anmerkung: Da in der gleichung y '' + [mm]a_1*y[/mm] ' + [mm]a_2*y[/mm] = s
> > > kein y vorkommt, ist [mm]a_2[/mm] = 0.
> > >
> > >
> > > [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]\lambda_2[/mm] = -4
> > >
> > > [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm]
> > >
> > > [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{lambda_2*x}[/mm]
> > >
> > > [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1[/mm]
> > >
> > > [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{-4x}[/mm]
> > >
> > > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1 +C_2*e^{-4x}[/mm]
> >
> >
> >
> >
> >
> > >
> > >
> > > 2. partikuläre Lösung
> > >
> > > [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
> > >
> > > Da [mm]a_2[/mm] = 0 ist gibt es keine partikuläre Lösung.
> > > Richtig???
> > >
> >
> >
> > Nein.
> >
> > Da die Konstante auch eine Lösung der homogenen DGL ist,
> > wird hier der Ansatz [mm]y_{p}\left(x\right)=Ax[/mm] gemacht.
> >
> > Damit solltest Du auf die partikuläre Lösung kommen.
>
> Danke für Deine Antwort. Und wie geht das?
> Kannst Du mir vielleicht ein Beispiel geben?
Setze diesen Ansatz in die DGL ein.
>
> Gruß
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Fr 12.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo hase-hh,
>
>
>
> > > Hallo hase-hh,
> > >
> > > > Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen bzw.
> > > > Anfangswertprobleme:
> > > >
> > >
> > > >
> > > > b) 2*y '' + 8*y' +4 = 0 ; y(0) = -1 ; y ' (0) = -
> > > > [mm]\bruch{17}{2}[/mm]
> > >
> > > > Moin,
> > > >
> > >
> > > >
> > > > bei b)
> > > >
> > > > 1. Homogene Lösung [mm]y_h[/mm]
> > > >
> > > > 2*y '' + 8*y' = 0
> > > >
> > > > y '' + 4*y' = 0
> > > >
> > > > [mm]\lambda^2 +4*\lambda[/mm] + 0 = 0
> > > >
> > > > Anmerkung: Da in der gleichung y '' + [mm]a_1*y[/mm] ' + [mm]a_2*y[/mm] = s
> > > > kein y vorkommt, ist [mm]a_2[/mm] = 0.
> > > >
> > > >
> > > > [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> > > >
> > > > [mm]\lambda_2[/mm] = -4
> > > >
> > > > [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{lambda_2*x}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1[/mm]
> > > >
> > > > [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{-4x}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1 +C_2*e^{-4x}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > 2. partikuläre Lösung
> > > >
> > > > [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
> > > >
> > > > Da [mm]a_2[/mm] = 0 ist gibt es keine partikuläre Lösung.
> > > > Richtig???
> > > >
> > >
> > >
> > > Nein.
> > >
> > > Da die Konstante auch eine Lösung der homogenen DGL ist,
> > > wird hier der Ansatz [mm]y_{p}\left(x\right)=Ax[/mm] gemacht.
> > >
> > > Damit solltest Du auf die partikuläre Lösung kommen.
> >
> > Danke für Deine Antwort. Und wie geht das?
> > Kannst Du mir vielleicht ein Beispiel geben?
>
>
> Setze diesen Ansatz in die DGL ein.
So ganz ohne Beispiel weiß ich nicht, was ich da jetzt machen soll!
|
|
|
| |
|
Hallo hase-hh,
> > Hallo hase-hh,
> >
> >
> >
> > > > Hallo hase-hh,
> > > >
> > > > > Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen bzw.
> > > > > Anfangswertprobleme:
> > > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > b) 2*y '' + 8*y' +4 = 0 ; y(0) = -1 ; y ' (0) = -
> > > > > [mm]\bruch{17}{2}[/mm]
> > > >
> > > > > Moin,
> > > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > bei b)
> > > > >
> > > > > 1. Homogene Lösung [mm]y_h[/mm]
> > > > >
> > > > > 2*y '' + 8*y' = 0
> > > > >
> > > > > y '' + 4*y' = 0
> > > > >
> > > > > [mm]\lambda^2 +4*\lambda[/mm] + 0 = 0
> > > > >
> > > > > Anmerkung: Da in der gleichung y '' + [mm]a_1*y[/mm] ' + [mm]a_2*y[/mm] = s
> > > > > kein y vorkommt, ist [mm]a_2[/mm] = 0.
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> > > > >
> > > > > [mm]\lambda_2[/mm] = -4
> > > > >
> > > > > [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{lambda_2*x}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*e^{-4x}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1 +C_2*e^{-4x}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > 2. partikuläre Lösung
> > > > >
> > > > > [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
> > > > >
> > > > > Da [mm]a_2[/mm] = 0 ist gibt es keine partikuläre Lösung.
> > > > > Richtig???
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Nein.
> > > >
> > > > Da die Konstante auch eine Lösung der homogenen DGL ist,
> > > > wird hier der Ansatz [mm]y_{p}\left(x\right)=Ax[/mm] gemacht.
> > > >
> > > > Damit solltest Du auf die partikuläre Lösung kommen.
> > >
> > > Danke für Deine Antwort. Und wie geht das?
> > > Kannst Du mir vielleicht ein Beispiel geben?
> >
> >
> > Setze diesen Ansatz in die DGL ein.
>
> So ganz ohne Beispiel weiß ich nicht, was ich da jetzt
> machen soll!
>
>
>
>
Also ein Beispiel:
[mm]y''+4*y'+4*y=x[/mm]
Homogene Lösung ist
[mm]y_{H}=C_{1}*e^{-2x}+C_{2}*x*e^{-2x}[/mm]
Da x keine Lösung der homogenen DGL ist, wird für die partikuläre Lösung der Ansatz [mm]y_{p}\left(x\right)=A*x+B[/mm] gemacht.
[mm]\Rightarrow y'_{p}=A, \ y''_{p}=0[/mm]
Dies in die DGL eingesetzt:
[mm]y''_{p}+4*y'_{p}+4*y_{p}=x[/mm]
[mm]\Rightarrow 0+4*A+4*\left(Ax+B\right)=x[/mm]
[mm]\gdw \left(4*A+4*B\right)+4*Ax=x+0[/mm]
Koeffizientenvergleich führt auf
[mm]4*A+4*B=0[/mm]
[mm]4*A=1[/mm]
woraus sich [mm]A=\bruch{1}{4}, \ B=-\bruch{1}{4}[/mm] ergeben.
[mm]\Rightarrow y_{p}\left(x\right)=\bruch{1}{4}*x-\bruch{1}{4}[/mm]
Und somit die allgemeine Lösung:
[mm]y\left(x\right)=y_{H}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)=C_{1}*e^{-2x}+C_{2}*x*e^{-2x}+\bruch{1}{4}*x-\bruch{1}{4}[/mm]
So, jetzt mußt Du aber die partikuläre Lösung ermitteln können.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Fr 12.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
Ok, dann probiere ich es mal.
Aber bei der gegebenen DGL gibt es kein y.
Wenn es ein y gäbe würde ich ja [mm] y_p(x) [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2} [/mm] ausrechnen.
zu meiner DGL
y '' + 4*y ' = -2 daraus folgere ich, dass B=0 sein muss.
0 + 4*A = -2
A = - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] y_p(x) [/mm] = Ax + B
[mm] y_p(x) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + B
[mm] y_p(x) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2}*(4) [/mm] + 0
[mm] y_p(x) [/mm] = -2
Dann ist das die partikuläre Lösung!?
|
|
|
| |
|
Hallo hase-hh,
> Ok, dann probiere ich es mal.
>
> Aber bei der gegebenen DGL gibt es kein y.
>
> Wenn es ein y gäbe würde ich ja [mm]y_p(x)[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
> ausrechnen.
>
>
> zu meiner DGL
>
> y '' + 4*y ' = -2 daraus folgere ich, dass B=0 sein
> muss.
>
> 0 + 4*A = -2
>
> A = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]y_p(x)[/mm] = Ax + B
>
> [mm]y_p(x)[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] + B
Lass das hier so stehen.
>
> [mm]y_p(x)[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}*(4)[/mm] + 0
>
> [mm]y_p(x)[/mm] = -2
Hier darfst Du keinen x-Wert einsetzen.
>
> Dann ist das die partikuläre Lösung!?
>
Die partikuläre Lösung lautet im vorliegenden Fall [mm]y_{p}\left(x\right)=-\bruch{1}{2}x[/mm]
Nun kannst Du die allgemeine Lösung verwenden,
um eine spezielle Lösung (für die gegeben Anfangsbedingungen erfüllt sind) zu finden.
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
