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| Aufgabe | Durch die Differentialgleichung 1. Ordnung [mm] m*\br{dv}{dt}+kv=mg [/mm] wird die Sinkgeschwindigkeit v eines Teilchens der Masse m in einer Flüssigkeit beschrieben (k: Reibungsfaktor; g: Erdbeschleunigung).
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung durch Trennung der Variablen. |
Hallo,
zuerst Trennung der Variablen:
[mm] m*\br{dv}{dt}+kv=mg
[/mm]
[mm] \br{dv}{g-\br{kv}{m}}=dt
[/mm]
Dann beide Seiten unbestimmt integrieren:
[mm] \integral_{}^{}\br{dv}{g-\br {kv}{m}}dv=\integral_{}^{}dt
[/mm]
Diesen Ausdruck habe ich mit Wolfram berechnen lasse und komme auf:
[mm] -\br {m*ln(gm-kv)}{k}+c_1=t+c_2
[/mm]
Diesen Ausdruck wiederum habe ich mir Wolfram nach v aufgelöst und komme dann auf:
[mm] v(t)=\br{e^{-\br{k*t}{m}}*(g*m*e^{\br{k*t}{m}}-c^{\br{k}{m}})}{k}
[/mm]
In den Lösungen ist aber folgendes angegeben:
[mm] v(t)=c*e^{-\br{kt}{m}}+\br{m*g}{k}
[/mm]
Sieht jemand den Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Mi 27.07.2016 | | Autor: | Fulla |
> Durch die Differentialgleichung 1. Ordnung
> [mm]m*\br{dv}{dt}+kv=mg[/mm] wird die Sinkgeschwindigkeit v eines
> Teilchens der Masse m in einer Flüssigkeit beschrieben (k:
> Reibungsfaktor; g: Erdbeschleunigung).
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung durch Trennung der
> Variablen.
> Hallo,
>
> zuerst Trennung der Variablen:
>
> [mm]m*\br{dv}{dt}+kv=mg[/mm]
>
> [mm]\br{dv}{g-\br{kv}{m}}=dt[/mm]
>
> Dann beide Seiten unbestimmt integrieren:
>
> [mm]\integral_{}^{}\br{dv}{g-\br {kv}{m}}dv=\integral_{}^{}dt[/mm]
>
> Diesen Ausdruck habe ich mit Wolfram berechnen lasse und
> komme auf:
>
> [mm]-\br {m*ln(gm-kv)}{k}+c_1=t+c_2[/mm]
>
> Diesen Ausdruck wiederum habe ich mir Wolfram nach v
> aufgelöst und komme dann auf:
>
> [mm]v(t)=\br{e^{-\br{k*t}{m}}*(g*m*e^{\br{k*t}{m}}-c^{\br{k}{m}})}{k}[/mm]
>
> In den Lösungen ist aber folgendes angegeben:
>
> [mm]v(t)=c*e^{-\br{kt}{m}}+\br{m*g}{k}[/mm]
>
> Sieht jemand den Fehler?
Hallo sonic5000,
da ist kein Fehler. Die beiden Ausdrücke enthalten nur unterschiedliche Konstanten c.
Den Ausdruck von Wolframalpha kannst du durch Ausmultiplizieren umformen zu
[mm]v(t)=\frac{gm}{k}\underbrace{-\frac{c^\frac{k}{m}}{k}}_{:=C}\cdot e^{-\frac{kt}{m}}=C\cdot
e^{-\frac{kt}{m}}+\frac{gm}{k}[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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