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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:43 Mo 24.01.2005 | | Autor: | SBStudent |
Hallo ihr emsigen Helfer,
ich habe eine kleine Frage:
Vor mir liegt ein DGL-System folgender Art:
[mm] y'=\pmat{ -3 & 7 & -3 \\ -4 & 7 & -2 \\ -3 & 3 & 1}y+\vektor{-4 \\ -1 \\4}
[/mm]
Soweit noch kein Problem.
[mm] p(\lambda)=det(A-\lambda*E)\rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=1 [/mm] , [mm] \lambda_{2,3}=2
[/mm]
Jetzt die Eigenvektoren:
[mm] (A-\lambda_{x}*E)*\vec{v}_{x}=\vec{0}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] v_{1}=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{1\\2\\3}
[/mm]
Jetzt aber muss ich den Hauptvektor zu [mm] v_{2} [/mm] bestimmen.
Warum? Doppelt belegtes [mm] \lambda? [/mm] Das wäre die erste Frage!
Also:
[mm] (A-\lambda_{2}*I)*\vec{v}_{3}=\vec{v}_{2}
[/mm]
FRAGE: Was ist I ??? Oder soll das E sein? Dann komme ich allerdings auf falsche Ergebnisse!!!
Dann ist die allg. Lösung des homogenen Systems:
[mm] y_{h}(x)=c_{1}e^x\vektor{1\\1\\1}+c_{2}e^{2x}\vektor{1\\2\\3}+c_{3}e^{2x}(x*\vektor{1\\2\\3}+\vec{v}_{3})
[/mm]
Letzte Frage:
Wie löse ich das inhomogene System?
Vorschläge:
Variation der Konstanten:
Y(x)*c'(x)=b Das wüsst ich gerne wie das geht (was ist c' was Y)?
oder über Ansatz [mm] y_{p}=\vec{c} [/mm] (geht nur wenn [mm] \lambda\not=0):
[/mm]
Muss y' dann immer [mm] =\vec{0} [/mm] gesetzt werden?
Also:
[mm] y'=A*y+b\rightarrow\vec{0}=A*y+b\rightarrow-b=A*y\rightarrow-b=A*\vec{c}
[/mm]
Daraus würde folgen:
[mm] \vec{c}=y_{p}=\vektor{2\\1\\-1}
[/mm]
[mm] y(x)=y_{h}+y{p}=c_{1}e^x\vektor{1\\1\\1}+c_{2}e^{2x}\vektor{1\\2\\3}+c_{3}e^{2x}(x*\vektor{1\\2\\3}+\vec{v}_{3})+\vektor{2\\1\\-1}
[/mm]
VIELEN DANK IM VORAUS!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Di 25.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. t
$ [mm] (A-\lambda_{2}\cdot{}I)\cdot{}\vec{v}_{3}=\vec{v}_{2} [/mm] $
das I muß ein E sein ( einige Bücher bezeichnen die Einheitsmatrix als E, andere nennen sie die Identität . dann heißt sie I)
Was hast du als I genommen?
zur Lösg der inhomogenen benutzt du am besten den Satz: die allgemeine Lösung der inhomogenen lin. Dgl. ist die Summe aus der allg. Lösg. der homogenen und einer beliebigen Lösung der inhomogenen.
hier ist leicht zu raten, daß eine Lösg der inhomogenen in y=w (fester Vektor, y'=0 besteht. Einsetzen in die Dgl gibt eine Gleichung für w.
Hilft das? ( ich hab mir nicht die Mühe gemacht, deine Ergebnisse nachzurechnen, nur dein Vorgehen überprüft und sehr gut gefunden!)
gute Nacht
leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Di 25.01.2005 | | Autor: | SBStudent |
Hallo leduart,
vielen Dank für Deine Mühe.
Ich habe in der Tat auch E benutzt hatte aber ehrlich gesagt überhaupt keine Ahnung was ich mit I anfangen sollte. Habe allerdings auf einen Schreibfehler getippt und gedacht E sei wohl das sinnvollste was man da einsetzt.
Nochmal vielen Dank!
Warum man den Hauptvektor bestimmen muss weisst du auch nicht genau? Ich tippe weil [mm] \lambda_{2} [/mm] und [mm] \lambda_{3} [/mm] gleich sind und es nur einen Eigenvektor zu diesem Wert gibt. klingt das plausibel?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Di 25.01.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
Hauptvektoren muss man nur bestimmen, wenn die algebraische Vielfachheit [mm]o(\lambda )[/mm], also die Nullstellenordnung [mm]\lambda[/mm], größer als die geometrische Vielfachheit [mm]v(\lambda )[/mm], also die Dimension des Eigenraums zu [mm]v(\lambda )[/mm] ist.
Nacheinander werden nun Hauptvektoren zweiter, dritter usw. Stufe bestimmt, bis die Dimension des verallgemeinerten Hauptraums [mm]o(\lambda )[/mm] ist.
Zur Methode "Variation der Konstanten":
Das geht genauso wie bekannt.
Hier gilt für eine Lösung:
[mm]z\left( t \right)\; = \;Y\left( t \right)\;\left( {Y^{ - 1} \left( \tau \right)\;z\left( \tau \right)\; + \;\int\limits_\tau ^t {Y^{ - 1} \left( s \right)\;b\left( s \right)\;ds} } \right)[/mm]
, wobei [mm]z\left( t \right)\; = \;Y\left( t \right)\;c\left( t \right)[/mm]
und [mm]z\left( \tau \right)[/mm] die Anfangsbedingungen für z sind.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo leduart,
>
> vielen Dank für Deine Mühe.
>
> Ich habe in der Tat auch E benutzt hatte aber ehrlich
> gesagt überhaupt keine Ahnung was ich mit I anfangen
> sollte. Habe allerdings auf einen Schreibfehler getippt und
> gedacht E sei wohl das sinnvollste was man da einsetzt.
>
> Nochmal vielen Dank!
>
> Warum man den Hauptvektor bestimmen muss weisst du auch
> nicht genau? Ich tippe weil [mm]\lambda_{2}[/mm] und [mm]\lambda_{3}[/mm]
> gleich sind und es nur einen Eigenvektor zu diesem Wert
> gibt. klingt das plausibel?
Das ist tatsächlich so, wenn man es begrünen will, muss man etwas von Jordannormalform der Matirx in den Bart nuscheln 
mfG Moudi
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