DGL-System lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 07.07.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Bestimme die Lösungen von:
[mm] y'=\pmat{ 2 & 2 \\ 0 & 2 }y+\vektor{1 \\ e^{2t}} [/mm] mit [mm] y(0)=\vektor{0 \\ 0} [/mm] |
Also ich weiß in etwas das grobe Vorgehen. Ich muss zuerst die homogenen Lösungen (L) bestimmen, dann die partikulären Lösungen (P). Zum Schluss muss ich noch mit L+P=y(0) die Konstanten aus den vorherigen Schritten bestimmen.
Allerdings scheitere ich schon beim ersten Schritt. Wie kann ich die homogenen Lösungen bestimmen. So weit wie ich das jetzt verstanden habe, muss man dafür doch die Gleichung [mm] y'=\pmat{ 2 & 2 \\ 0 & 2 }y [/mm] irgendwie lösen.
Nur wie mach ich das am besten? Ich hab gelesen, dass ich dafür die Eigenwerte brauch. Den Eigenwert [mm] \lambda=2 [/mm] hab ich schon bestimmt. Wie geht es denn nun damit weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 So 10.07.2011 | | Autor: | engels |
Weiß einer, wie ich dieses System lösen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
die lösungen bei der homogenen dgl setzen sich aus [mm] c_1 [/mm] * [mm] v_1 [/mm] * [mm] exp(\lambda_1 [/mm] x) + [mm] c_2 [/mm] * [mm] v_2 [/mm] * [mm] exp(\lambda_2 [/mm] x) zusammen, wobei [mm] v_i [/mm] die eigenvektoren zum eigenwert [mm] \lambda_i [/mm] sind und [mm] c_i [/mm] eine Konstante. Da [mm] \lambda [/mm] = 2 der einzige Eigenwert ist (ein doppelter) musst du die dimension vom eigenraum prüfen. findest du einen weiteren eigenvektor ist alles gut und die lösung setzt sich aus [mm] c_1 [/mm] * [mm] v_1 [/mm] * exp(2 x)+ [mm] c_2 [/mm] * [mm] v_2 [/mm] * exp(2 x) zusammen [mm] (c_i [/mm] konstanten, [mm] v_i [/mm] eigenvektoren) anderfalls muss du einen verallgemeinerten eigenvektor ausrechnen. das gibt dir die homogene lösung des problems. den rest musst du schauen. ansatz vom typ der rechten seite könnte klappen
gruß bernhard
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